Théorème de Sylow
dans Algèbre
Bonjour,
j'étudie la preuve des théorèmes de Sylow, et je bloque sur un argument... L'enchaînement des lignes ne me pose pas problème mais c'est l'idée utilisée pour montrer la bijection que je ne comprends pas.
(la démo: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~afontain/dvpt thm de sylow.pdf ). J'ai mis le passage qui me bloque en PJ.
Si certains pouvaient m'éclairer sur cet argument, cela m'aiderait beaucoup !
Cordialement,
Thibault Danguy
j'étudie la preuve des théorèmes de Sylow, et je bloque sur un argument... L'enchaînement des lignes ne me pose pas problème mais c'est l'idée utilisée pour montrer la bijection que je ne comprends pas.
(la démo: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~afontain/dvpt thm de sylow.pdf ). J'ai mis le passage qui me bloque en PJ.
Si certains pouvaient m'éclairer sur cet argument, cela m'aiderait beaucoup !
Cordialement,
Thibault Danguy
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Réponses
Est-ce que tu connais ce résultat ? Est-ce qu'il te pose problème ?
Le document que tu indiques en est juste une application directe, la seule chose en plus est le constat que le stabilisateur de $aS$ est $aSa^{-1}$ mais c'est tout.
merci de ta réponse. Je connais ce résultat, je vois qu'il prouve ce qu'on veut démontrer.
Mais je ne comprends pas comment il prouve cette formule des orbites, càd la photo que j'ai mise en pièce jointe ! :-(
De quelle "formule des orbites" parles-tu ?
La seule chose non explicitée dans le scan est $\mathrm{Stab}(aS)=H\cap aSa^{-1}$. Est-ce ça qui te pose problème ?
Dans l'extrait mis en copie plus haut la relation d'équivalence considérée est, si j'ai bien compris, sur le sous-groupe $H$ de $G$:
$g$ et $g'$ de $H$ sont équivalents si et seulement si $gg'^{-1}\in aSa^{-1} \cap H$
Il est montré que $g$ et $g'$ sont équivalents si et seulement si ces deux éléments de $H$ donnent le même point dans l'orbite de $aS$. C'est à dire que $g.aS=g'.aS$.
PS:
L'ordre des assertions dans la chaîne d'équivalences dans le PDF (cf. la copie d'écran) est sans doute à revoir pour une meilleure compréhension.
Je parle de la formule
$$
\frac{|G|}{|stab(x)|}=|orb(x)|.$$