Théorème de Sylow
dans Algèbre
Bonjour,
j'étudie la preuve des théorèmes de Sylow, et je bloque sur un argument... L'enchaînement des lignes ne me pose pas problème mais c'est l'idée utilisée pour montrer la bijection que je ne comprends pas.
(la démo: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~afontain/dvpt thm de sylow.pdf ). J'ai mis le passage qui me bloque en PJ.
Si certains pouvaient m'éclairer sur cet argument, cela m'aiderait beaucoup !
Cordialement,
Thibault Danguy
j'étudie la preuve des théorèmes de Sylow, et je bloque sur un argument... L'enchaînement des lignes ne me pose pas problème mais c'est l'idée utilisée pour montrer la bijection que je ne comprends pas.
(la démo: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~afontain/dvpt thm de sylow.pdf ). J'ai mis le passage qui me bloque en PJ.
Si certains pouvaient m'éclairer sur cet argument, cela m'aiderait beaucoup !
Cordialement,
Thibault Danguy
Réponses
-
D'une manière générale, si un groupe $H$ agit sur un espace $X$, et si $x_0\in X$, alors on a une bijection $H/\mathrm{Stab}(x_0)\to\omega(x_0)$ définie par $\overline{h}\mapsto hx_0$.
Est-ce que tu connais ce résultat ? Est-ce qu'il te pose problème ?
Le document que tu indiques en est juste une application directe, la seule chose en plus est le constat que le stabilisateur de $aS$ est $aSa^{-1}$ mais c'est tout. -
Bonjour,
merci de ta réponse. Je connais ce résultat, je vois qu'il prouve ce qu'on veut démontrer.
Mais je ne comprends pas comment il prouve cette formule des orbites, càd la photo que j'ai mise en pièce jointe ! :-( -
Bonjour,
De quelle "formule des orbites" parles-tu ?
La seule chose non explicitée dans le scan est $\mathrm{Stab}(aS)=H\cap aSa^{-1}$. Est-ce ça qui te pose problème ? -
Dans le PDF il y a plusieurs relations d'équivalence qui sont considérées.
Dans l'extrait mis en copie plus haut la relation d'équivalence considérée est, si j'ai bien compris, sur le sous-groupe $H$ de $G$:
$g$ et $g'$ de $H$ sont équivalents si et seulement si $gg'^{-1}\in aSa^{-1} \cap H$
Il est montré que $g$ et $g'$ sont équivalents si et seulement si ces deux éléments de $H$ donnent le même point dans l'orbite de $aS$. C'est à dire que $g.aS=g'.aS$.
PS:
L'ordre des assertions dans la chaîne d'équivalences dans le PDF (cf. la copie d'écran) est sans doute à revoir pour une meilleure compréhension. -
Non ceci ne me pose pas problème !
Je parle de la formule
$$
\frac{|G|}{|stab(x)|}=|orb(x)|.$$ -
merci, je crois que cette dernière explication m'a eclairé!
-
Finalement, ce qui te posait problème, c'est le fait que le cardinal du quotient soit le quotient des cardinaux ?
-
La formule $\displaystyle \frac{|G|}{|stab(x)|}=|orb(x)|$ coule de source une fois qu'on a établi la bijection dont il est question plus haut.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres