Théorème de Sylow

Thibault314 · January 2021

Bonjour,
j'étudie la preuve des théorèmes de Sylow, et je bloque sur un argument... L'enchaînement des lignes ne me pose pas problème mais c'est l'idée utilisée pour montrer la bijection que je ne comprends pas.

(la démo: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~afontain/dvpt thm de sylow.pdf ). J'ai mis le passage qui me bloque en PJ.

Si certains pouvaient m'éclairer sur cet argument, cela m'aiderait beaucoup !
Cordialement,
Thibault Danguy 116172

JLT · January 2021

D'une manière générale, si un groupe $H$ agit sur un espace $X$, et si $x_0\in X$, alors on a une bijection $H/\mathrm{Stab}(x_0)\to\omega(x_0)$ définie par $\overline{h}\mapsto hx_0$.

Est-ce que tu connais ce résultat ? Est-ce qu'il te pose problème ?

Le document que tu indiques en est juste une application directe, la seule chose en plus est le constat que le stabilisateur de $aS$ est $aSa^{-1}$ mais c'est tout.

Thibault314 · January 2021

Bonjour,
merci de ta réponse. Je connais ce résultat, je vois qu'il prouve ce qu'on veut démontrer.

Mais je ne comprends pas comment il prouve cette formule des orbites, càd la photo que j'ai mise en pièce jointe ! :-(

GaBuZoMeu · January 2021

Bonjour,

De quelle "formule des orbites" parles-tu ?

La seule chose non explicitée dans le scan est $\mathrm{Stab}(aS)=H\cap aSa^{-1}$. Est-ce ça qui te pose problème ?

Fin de partie · January 2021

Dans le PDF il y a plusieurs relations d'équivalence qui sont considérées.

Dans l'extrait mis en copie plus haut la relation d'équivalence considérée est, si j'ai bien compris, sur le sous-groupe $H$ de $G$:

$g$ et $g'$ de $H$ sont équivalents si et seulement si $gg'^{-1}\in aSa^{-1} \cap H$

Il est montré que $g$ et $g'$ sont équivalents si et seulement si ces deux éléments de $H$ donnent le même point dans l'orbite de $aS$. C'est à dire que $g.aS=g'.aS$.

PS:
L'ordre des assertions dans la chaîne d'équivalences dans le PDF (cf. la copie d'écran) est sans doute à revoir pour une meilleure compréhension.