Permutations
Bonjour
Soit $\tau, \sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ pour $n \ge 1$. J'ai du mal à donner un argument correct justifiant de manière convaincante l'égalité
$$
\prod_{i<j} { \tau (\sigma (j)) - \tau (\sigma (i))\over \sigma(j) - \sigma(i) } = \prod_{i<j} { \tau (j) - \tau (i)\over j-i}.
$$ Si vous voulez le problème de poser $i' = \sigma(i)$ c'est que ça ne respecte pas $i<j$ si on se fixe un $i$ et on écrit
$$
{ \tau (\sigma (3)) - \tau (\sigma (4))\over \sigma(3) - \sigma(4) } \cdots { \tau (\sigma (3)) - \tau (\sigma (n))\over \sigma(3) - \sigma(n) }.
$$ Je me rends bien compte que le changement de variable que je prétends est douteux. Mais ce n'est pas clair pour moi comment le justifier.
Soit $\tau, \sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ pour $n \ge 1$. J'ai du mal à donner un argument correct justifiant de manière convaincante l'égalité
$$
\prod_{i<j} { \tau (\sigma (j)) - \tau (\sigma (i))\over \sigma(j) - \sigma(i) } = \prod_{i<j} { \tau (j) - \tau (i)\over j-i}.
$$ Si vous voulez le problème de poser $i' = \sigma(i)$ c'est que ça ne respecte pas $i<j$ si on se fixe un $i$ et on écrit
$$
{ \tau (\sigma (3)) - \tau (\sigma (4))\over \sigma(3) - \sigma(4) } \cdots { \tau (\sigma (3)) - \tau (\sigma (n))\over \sigma(3) - \sigma(n) }.
$$ Je me rends bien compte que le changement de variable que je prétends est douteux. Mais ce n'est pas clair pour moi comment le justifier.
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Réponses
Plus précisément, ton produit est exactement indexé par $\{\{i,j\} \mid i\neq j\}$ : l'ordre ne compte pas parce que si ça change en haut, ça change en bas.
Maintenant, $\sigma$ est une permutation de cet ensemble d'indices donc le changement de variables est autorisé.
-- Schnoebelen, Philippe
Cordialement.
Maintenant, $\sigma$ est une permutation de $\{\{i,j\} \mid i \neq j\}$ donc tu peux appliquer le théorème de changement de variables
Notons $F = \{ X\in \mathscr{P}([\![1, n]\!]) \mid \Card(X) = 2 \}$, $f \colon F \to F, \{i,j\} \mapsto \{\sigma(i), \sigma(j)\}$ et $g \colon F \to F, \{i,j\} \mapsto \{\sigma^{-1}(i), \sigma^{-1}(j)\}$.
Tu peux constater que $f\circ g = g \circ f = \mathrm{id}_F$, donc $f$ est une permutation de $F$ et $g=f^{-1}$.
Soit $E = \{ (i,j) \in [\![1, n]\!]^2 \mid i < j \}$. Comme l'a fait remarquer Maxtimax, on a :
\begin{align}
\prod_{(i,j) \in E} \frac{ \tau(\sigma(j)) - \tau(\sigma(i)) } { \sigma(j) - \sigma(i) } &=
\prod_{\{i,j\} \in F} \frac{ \tau(\sigma(j)) - \tau(\sigma(i)) } { \sigma(j) - \sigma(i) } \\
&= \prod_{\{i,j\} \in F} \frac{ \tau(j) - \tau(i) } { j - i } \\
&= \prod_{(i,j) \in E} \frac{ \tau(j) - \tau(i) } { j - i }
\end{align}
On a utilisé $g$ pour l'avant-dernière égalité.
Edit : remplacement de $\sum$ par $\prod$.
$\begin{align}
\sum_{(i,j) \in E}f(\sigma(j),\sigma(i)) &=
\sum_{\{i,j\} \in F}f(\sigma(j),\sigma(i)) \\
&= \sum_{\{i,j\} \in F} f(j,i)\\
&= \sum_{(i,j) \in E}f(j,i)
\end{align}$
pour montrer que ça n'a rien à voir avec $\tau$ ou ce quotient bizarre, que c'est vraiment juste le fait d'avoir une fonction telle que $f(i,j) = f(j,i)$ (ou encore: une fonction définie sur les paires; ou encore : une fonction définie sur les couples $(i,j)$ tels que $i<j$ et qu'on étend par symétrie)
\prod_{i<j} f(i,j) = \prod_{i=1}^{n-1} \prod_{j=i+1}^{n} f(i,j).
$
Et si je montre que $\quad\displaystyle
\prod_{i<j} f(i,j) = \prod_{\{i,j\}, i\neq j} f(i,j)
$
Alors la conclusion est aisée
$$
\prod_{i<j} { \tau (\sigma (j)) - \tau (\sigma (i))\over \sigma(j) - \sigma(i) } = \prod_{i \ne j} { \tau (\sigma (j)) - \tau (\sigma (i))\over \sigma(j) - \sigma(i) } .
$$ Mais l'application $\quad\displaystyle
(i,j) \mapsto (\sigma(i), \sigma(j)) ,\ $ définie sur l'ensemble des couples de $\{1,\ldots,n\}$ qui ne sont pas sur la diagonale, est une permutation ! D'où l'égalité
$$
\prod_{i \ne j} { \tau (\sigma (j)) - \tau (\sigma (i))\over \sigma(j) - \sigma(i) } = \prod_{i\ne j} { \tau (j) - \tau (i)\over j-i} = \prod_{i < j} { \tau (j) - \tau (i)\over j-i}.
$$ Donc tout revient à comprendre l'argument de Maxtimax. Bon on a $f$ qui vérifie $f(i,j) = f(j,i)$ alors on écrit
$$
\prod_{i<j} f(i,j) = \prod_{i=1}^{n-1} \prod_{j=i+1}^{n} f(i,j)
$$ Attendez déjà est que y a le même nombre de termes dans le produit que j'ai et celui que j'espère avoir. Dans celui que j'espère avoir si y en a $n(n-1) \over 2$ parce que $i \ne j$ et l'ordre ne compte pas et dans celui que j'ai il y en a
$$
\sum_{k=2}^{n}(n-k+1) = (n-1)n - \Big({n(n+1)\over 2}-1\Big) + (n-1).
$$ Ça ne fait pas le même nombre.
[Ne pas abuser des expressions centrées. AD]
L'injectivité et la surjectivité sont évidentes, ou encore tu peux définir une réciproque via $x\mapsto (\min x, \max x)$ Il faut croire les bijections avant lea calculs. Soit tu n'as pas assez simplifié (ton expression est largement simplifiable !) soit tu as fait une erreur
Soit $P$ l'ensemble des parties à deux éléments de $\{1,...,n\}$.
Si $f$ est une fonction symétrique $\{1,...,n\}^2 \rightarrow \mathbb R$ alors pour $p=\{i,j\} \in P$ on peut définir $\hat f : P \rightarrow \mathbb R$ par $\hat f(p)=f(i,j)=f(j,i)$.
On définit également $\hat \sigma$ par $\hat \sigma(p) = \{\sigma(i),\sigma(j)\}$ : c'est une permutation des éléments de $P$.
Par suite, $\sum_{i<j} {f(i,j)} = \sum_{p \in P} {\hat f(p)} = \sum_{p \in P} {\hat f(\hat \sigma(p))} = \sum_{i<j} {f(\sigma(i),\sigma(j))} $
Ils sont positifs** et ont le même carré, qui est le produit quand le couple $(i,j)$ parcourt $A$ de l'opérande $$[\tau(i) - \tau(j)] / (i-j)$$
avec $A:=\{(i,j) \mid i\neq j\}$
(Ca t'a peut-être déjà été répondu, je n'ai pas lu le fil)
Edit: attention, j'ai répondu à côté, c'est toute la question, justement, de savoir s'ils ont le même signe
Ce lemme mérite "une vraie preuve", il s'agit de la signature, il est connu qu'elle ne se prouve pas avec ce genre de tour de passe-passe. Ces derniers sont des intuitions (même si valables).
Je recommande de célèbres preuves de GBZM ou de GB sur le forum, qui elles sont "vraiment convaincantes" et sans tour de passe-passe.
Je ne rappelle que celle de GBZM qui est plus courte à écrire, car celle de GB nécessite des couleurs:
1/ une transposition se décompose comme produit d'un nombre impair de transpositions "voisines", ie de la forme $$(n\ n+1)$$
2/ il est facile de voir que de quelque manière qu'on passe d'une permutation à une autre en la composant par des transpositions voisines, la parité du nombre desdites transpositions NE CHANGENT PAS
3/ cette parité, qu'on peut appeler signature quand le départ est l'identité est le produit du premier post du fil, partie droite.
L'utilisation de l'axiome de l'extensionalité est ici (comme dans beaucoup d'endroits) un apport "trichant", car donne un truc désiré tout en donnant l'impression que ce n'est pas une hypothèse.
Je rappelle que l'extensionalité entraine le tiers exclus "gratuitement" (et bien d'autres choses, sulfureuses, gratuitement)
Ce n'est pas circulaire du tout.
Je te mettrai un lien, mais il me faudra faire l'effort de le retrouver.
En gros, (même si ici ce n'est pas nécessaire), c'est assez similaire à prouver la consistance de Peano en disant "elle a des modèles, entre autre, $\N$"
Or le cerveau des débutants le perçoit et ressent une sorte de malaise face à ça. La raison est essentiellement l'EXTENSTIONALITE (qui platonise tout).
*** je m'étais fait brocarder si je me rappelle bien, on m'avait dit que j'avais inventé un nouveau genre de point GODWIN: le point Godel.
Bon j'avais à mooitié apprécié car ça cachait le sérieux de ce que je voulais faire ressentir... :-D
Ceci, avec une belle prestation de Foys ? Je viens de relire la prestation de Aléa. Je la trouve limpide.
Ça n'empêche pas ceux que tu as mis d'être distrayant mais le post que j'évoque est plus ancien.
L'autre preuve, celle de GBZM appelée saute mouton n'est peut être pas dedans, mais il avait mis un lien vers un de ses papiers donc c'est plus facile à retrouver.
C'est ce fil effectivement, mais quel vertige, 11ans.
Précisément la révélation divine commence là ---> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,515809,516051#msg-516051
MERCI TITI!!!
Juste pour être sûr: ce lemme en question revient simplement à remarquer que la somme est une opération définie sur un ensemble (sans notion d'ordre donc) qui reste identique quel que soit le réindexage des objets de cet ensemble (donc précisément elle est invariante pour tout autre ordre de présentation des indices, si on pense en terme d'extensionnalité) ?
Y a-t-il une preuve plus efficace / formelle attendue ?