Permutations

Les deux écritures contiennent les mêmes termes en haut et en bas, mais pas dans le même ordre.

$\DeclareMathOperator{\Card}{Card}$En un peu plus explicite :

Notons $F = \{ X\in \mathscr{P}([\![1, n]\!]) \mid \Card(X) = 2 \}$, $f \colon F \to F, \{i,j\} \mapsto \{\sigma(i), \sigma(j)\}$ et $g \colon F \to F, \{i,j\} \mapsto \{\sigma^{-1}(i), \sigma^{-1}(j)\}$.
Tu peux constater que $f\circ g = g \circ f = \mathrm{id}_F$, donc $f$ est une permutation de $F$ et $g=f^{-1}$.

Soit $E = \{ (i,j) \in [\![1, n]\!]^2 \mid i < j \}$. Comme l'a fait remarquer Maxtimax, on a :
\begin{align}
\prod_{(i,j) \in E} \frac{ \tau(\sigma(j)) - \tau(\sigma(i)) } { \sigma(j) - \sigma(i) } &=
\prod_{\{i,j\} \in F} \frac{ \tau(\sigma(j)) - \tau(\sigma(i)) } { \sigma(j) - \sigma(i) } \\
&= \prod_{\{i,j\} \in F} \frac{ \tau(j) - \tau(i) } { j - i } \\
&= \prod_{(i,j) \in E} \frac{ \tau(j) - \tau(i) } { j - i }
\end{align}
On a utilisé $g$ pour l'avant-dernière égalité.

Edit : remplacement de $\sum$ par $\prod$.

En effet Maxtimax, c'est une remarque intéressante ; merci !

$\{(i,j)\mid i <j\}$ a bien le même cardinal que $\{\{i,j\} \mid i\neq j\}$, une bijection étant donnée par $(i,j)\mapsto \{i,j\}$

L'injectivité et la surjectivité sont évidentes, ou encore tu peux définir une réciproque via $x\mapsto (\min x, \max x)$ Il faut croire les bijections avant lea calculs. Soit tu n'as pas assez simplifié (ton expression est largement simplifiable !) soit tu as fait une erreur

@mini_calli : bonjour. Est-ce "D'accord", ou bien "Super ! J'ai enfin compris" ?

C'est la symétrie qui importe.
Soit $P$ l'ensemble des parties à deux éléments de $\{1,...,n\}$.
Si $f$ est une fonction symétrique $\{1,...,n\}^2 \rightarrow \mathbb R$ alors pour $p=\{i,j\} \in P$ on peut définir $\hat f : P \rightarrow \mathbb R$ par $\hat f(p)=f(i,j)=f(j,i)$.
On définit également $\hat \sigma$ par $\hat \sigma(p) = \{\sigma(i),\sigma(j)\}$ : c'est une permutation des éléments de $P$.
Par suite, $\sum_{i<j} {f(i,j)} = \sum_{p \in P} {\hat f(p)} = \sum_{p \in P} {\hat f(\hat \sigma(p))} = \sum_{i<j} {f(\sigma(i),\sigma(j))} $

J'ai lu le fil, aucune des preuves n'est convaincante car elles sont circulaires. Sur le plan strictement mathématique, on peut bien évidemment "constater qu'il est possible de faire marcher une preuve de ce genre", mais ce sera très pénible.

Ce lemme mérite "une vraie preuve", il s'agit de la signature, il est connu qu'elle ne se prouve pas avec ce genre de tour de passe-passe. Ces derniers sont des intuitions (même si valables).

Je recommande de célèbres preuves de GBZM ou de GB sur le forum, qui elles sont "vraiment convaincantes" et sans tour de passe-passe.

Je ne rappelle que celle de GBZM qui est plus courte à écrire, car celle de GB nécessite des couleurs:

1/ une transposition se décompose comme produit d'un nombre impair de transpositions "voisines", ie de la forme $$(n\ n+1)$$

2/ il est facile de voir que de quelque manière qu'on passe d'une permutation à une autre en la composant par des transpositions voisines, la parité du nombre desdites transpositions NE CHANGENT PAS

3/ cette parité, qu'on peut appeler signature quand le départ est l'identité est le produit du premier post du fil, partie droite.

L'utilisation de l'axiome de l'extensionalité est ici (comme dans beaucoup d'endroits) un apport "trichant", car donne un truc désiré tout en donnant l'impression que ce n'est pas une hypothèse.

Je rappelle que l'extensionalité entraine le tiers exclus "gratuitement" (et bien d'autres choses, sulfureuses, gratuitement)

En fait, j'aurais peut-être dû être plus précis, mais c'est assez difficile. quand tu n'étais pas encore arrivé sur le forum, j'avais déjà mentionné*** cette difficulté PUREMENT PHILOSOPHIQUE où on "réalise" qu'on a mis dans les axiomes fondateurs des choses que la preuve d'un théorème parfois rencontrée nous rappelle que c'était audacieux.

Je te mettrai un lien, mais il me faudra faire l'effort de le retrouver.

En gros, (même si ici ce n'est pas nécessaire), c'est assez similaire à prouver la consistance de Peano en disant "elle a des modèles, entre autre, $\N$"

Or le cerveau des débutants le perçoit et ressent une sorte de malaise face à ça. La raison est essentiellement l'EXTENSTIONALITE (qui platonise tout).

*** je m'étais fait brocarder si je me rappelle bien, on m'avait dit que j'avais inventé un nouveau genre de point GODWIN: le point Godel.

Bon j'avais à mooitié apprécié car ça cachait le sérieux de ce que je voulais faire ressentir... :-D

Merci Titi. C'est un post hélas plus ancien. Je crois qu'au début on y voit GB exposer sa fameuse preuve.

Ça n'empêche pas ceux que tu as mis d'être distrayant mais le post que j'évoque est plus ancien.

L'autre preuve, celle de GBZM appelée saute mouton n'est peut être pas dedans, mais il avait mis un lien vers un de ses papiers donc c'est plus facile à retrouver.

AAAoooouuuuuuuuuuuuuuu 11 ans déjà, ça fout le vertige!!!!!!!

C'est ce fil effectivement, mais quel vertige, 11ans.

Précisément la révélation divine commence là ---> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,515809,516051#msg-516051

MERCI TITI!!!

Ah ça fumait de la bonne à l'époque. La société comme le forum sont devenus très puritains :-D