Base dans un espace de Hilbert
Bonjour
Pour un exercice d'application, j'ai 8 états d'un espace de Hilbert complexe $\C^4$, notés de $\Psi_1$ à $\Psi_8$, j'ai calculé tous les produits scalaires des $<\Psi_n\mid \Psi_m>$ pour chaque $n$ et $m$ dans $\{1,\ldots,8\}$, j'ai le tableau en ci-joint.
On me demande s'il y a un sous-espace de $\{\Psi_1,\ldots,\Psi_8\}$ formant des bases orthogonales ou orthonormales.
Mon feeling est qu'une base orthonormale doit répondre à la propriété suivante : $<e_k\mid e_j> = 0$, pour tout $k, j$ dans $B$, avec $k \neq j$, et que je vois qu'il y a 2 "carrés" de "0" dans mon tableau des produits scalaires calculés ce qui me met sur cette voie, cependant je ne suis pas tout à fait sûr, et je ne sais pas trop de quels états est constituée ma base, auriez-vous une aide à me fournir s'il vous plaît ?
Merci !
Pour un exercice d'application, j'ai 8 états d'un espace de Hilbert complexe $\C^4$, notés de $\Psi_1$ à $\Psi_8$, j'ai calculé tous les produits scalaires des $<\Psi_n\mid \Psi_m>$ pour chaque $n$ et $m$ dans $\{1,\ldots,8\}$, j'ai le tableau en ci-joint.
On me demande s'il y a un sous-espace de $\{\Psi_1,\ldots,\Psi_8\}$ formant des bases orthogonales ou orthonormales.
Mon feeling est qu'une base orthonormale doit répondre à la propriété suivante : $<e_k\mid e_j> = 0$, pour tout $k, j$ dans $B$, avec $k \neq j$, et que je vois qu'il y a 2 "carrés" de "0" dans mon tableau des produits scalaires calculés ce qui me met sur cette voie, cependant je ne suis pas tout à fait sûr, et je ne sais pas trop de quels états est constituée ma base, auriez-vous une aide à me fournir s'il vous plaît ?
Merci !
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Réponses
J'imagine que la question correcte est "existe-t-il une sous-famille de $\{\Psi_1, \dots, \Psi_8\}$ formant une base orthogonale ou orthonormale de $\mathbb C^4$ ? (Au passage la mention "espace de Hilbert est ici inutile...)
Tu peux regarder la famille $\{\Psi_1, \Psi_4, \Psi_5, \Psi_6\}$ par exemple.
Merci beaucoup pour ta réponse !
Effectivement les termes que j'ai employé ne sont pas appropriés, désolé, c'est un peu nouveau pour moi :-S
La question correcte est efectivement "existe-t-il une sous-famille de {PSI1,…,PSI8} formant une base orthogonale ou orthonormale de C4"
Mais du coup je ne vois pas trop pourquoi la famille que tu donnes, est-ce parce que les autres ont des valeurs de produits scalaires différents de 1 ?
Merci !
$\Psi_1,\dots,\Psi_8$ et comment orthonormaliser cette derniere base? Que peut-on dire de l'application linéaire $e_i\mapsto\Psi_i$?
(:P)
(:P)
Parce qu'elle fonctionne pardi, regarde les produits scalaires des différentes combinaisons possibles ! Pour le reste, je te suggère d'ignorer les messages d'AlainLyon.
Merci Poirot, j'ai bien compris