Le problème soulevé par "bisam"

Réponses

  • Dacu
    Dacu
    Bonjour "bisam",

    Je suis très intéressé à comprendre ce que vous dites!Jolie s'il-vous-plaît , veuillez dire quelles sont les solutions de l'équation dans les cas:

    1) Si on se place sur Z/4Z, on trouve déjà deux solutions distinctes.
    2) Si on se place sur (Z/4Z)[X] ou bien sur M2(R), on trouve une infinité de solutions.

    Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
  • Poirot
    Poirot
    Peux-tu lister les éléments de $\mathbb Z/4 \mathbb Z$ ? Si oui, il n'est pas difficile de chercher à la main quels sont les éléments dont le carré est égal à $\overline 0$. En s'inspirant de ça, on trouve immédiatement une infinité de solutions non nulles dans $\mathbb Z/4 \mathbb Z[X]$ : il suffit de prendre $aX^n$ pour n'importe quel entier $n$, et $a \neq \overline 0$ tel que $a^2 = \overline 0$.
  • Dacu
    Dacu
    Bonjour Poirot,

    Je crois que dans les cas 1) , 2) , etc. , si "bisam" fait référence à des congruences, alors l'équation $x ^ 2 = 0$ doit être écrite comme suit:

    $x^2\equiv 0 (mod 4)$ , ce qui est complètement différent et donc je pense que l'énoncé du problème "Résolvez l'équation $x^2=0$." c'est correct et complet et en conclusion , selon le théorème fondamental de l'algèbre il n'est pas nécessaire de spécifier dans l'énoncé l'ensemble dans lequel l'équation doit être résolue.L'énoncé "Résolvez l'équation $x^2+x+1=0$." est-il correct?

    L'équation $x^2\equiv 0 (mod 4)$ a une infinité de solutions de forme $x=4n$ et $x=4n+2$.où $n\in \mathbb Z$J'ai raison?Pour quelles valeurs de $n\in \mathbb Z$ et $x = 4n + 2$ nous avons $x ^ 2 = 0$? Merci beaucoup!

    Cordialement,

    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour Dacu,

    Tu écris que tu es très intéressé à comprendre.
    Tu devrais donc réaliser que chercher les solutions d'une équation polynomiale à coefficients entiers en une variable $x$ a un sens dans n'importe quel anneau : par exemple $\mathbb Z/4\mathbb Z$, l'anneau produit $\mathbb R\times \mathbb R$, l'algèbre de matrices $M_n(\mathbb R)$, le corps gauche des quaternions $\mathbb H$, ...
  • Dacu
    Dacu
    Bonsoir "GaBuZoMeu"

    J'attends une réponse de "bisam".....J'attends et d'autres avis et par exemple j'aimerais aussi connaître et l'avis de "YvesM"...

    1) L'énoncé "Résolvez l'équation $x^2+x+1=0$." est-il correct?

    2) L'équation $x^2\equiv 0 (mod 4)$ a une infinité de solutions de forme $x=4n$ et $x=4n+2$.où $n\in \mathbb Z$J'ai raison?Pour quelles valeurs de $n\in \mathbb Z$ et $x = 4n + 2$ nous avons $x ^ 2= 0$?

    Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Quand on ne dit pas où on cherche les solutions, l'énoncé est incomplet. L'énoncé est complet quand on précise l'anneau dans lequel on cherche les solutions.
    Il se peut que cet anneau soit fixé par le contexte de la question. Mais là, tu poses la question sans contexte.
  • Dacu
    Dacu
    "GaBuZoMeu"

    S'il vous plaît , j'ai édité mon message précédent pour vous et à cet égard , répondez à mes questions 1) et 2) Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
  • bisam
    bisam
    Les avis de Poirot et GaBuZoMeu sont identiques au mien.

    Il n'y a pas besoin de préciser de congruences dans les questions que tu as relevées.
    Par exemple, dans le premier cas, les éléments $x$ considérés ne sont PAS des entiers. Dans l'ensemble, $\Z/4\Z$, il n'y a que 4 éléments, que l'on peut noter $\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}\}$ et qui vérifient certaines propriétés, ayant un certain rapport avec les nombres entiers, mais ce ne sont pas des entiers et donc il n'y a pas lieu d'écrire des congruences.

    Ma réponse reste la même pour ta nouvelle équation : elle n'a pas de sens tant que tu ne précises pas dans quel ensemble vit $x$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    J'ai déjà écrit ce que je pensais pour la question 1.
    Et pour la question 2, l'équation $x^2=0$ a bien deux solutions dans $\mathbb Z/4\mathbb Z$ : la classe de 0 et la classe de 2. Et une infinité de solutions dans l'algèbre $M_2(\mathbb R)$.
  • SERGE_S
    SERGE_S
    L'énoncé "Résolvez l'équation x2+x+1=0." est-il correct ?

    Non l'énoncé n'est pas correct.
    Il faut quantifier existentiellement la variable libre x, et pour éviter les paradoxes de type Russellien quand on quantifie x on spéficie toujours l'ensemble d'appartenance de x.

    Résoudre x2 +1 = 0 n'a pas de sens.
    Résoudre x2+1=0 dans R a un sens
    Résoudre x2+1=0 dans C a un sens
    Résoudre x+1=0 dans l'intervalle [3,6] a un sens.
    Résoudre x2+1=0 dans l'ensemble des matrices carrées de dimension 3 a un sens.
    Mais résoudre x2+1=0 n'a aucun sens mathématique.
  • Poirot
    Poirot
    En résumé, bien distinguer les énoncés :

    Résoudre dans $\mathbb Z$ l'équation $x^2 \equiv 0 \text{ mod } 4$.

    Résoudre dans $\mathbb Z/4 \mathbb Z$ l'équation $x^2 = \overline{0}$.

    La première équation a évidemment une infinité de solutions, la seconde en a deux.

    Comme il a été dit plus haut, pour qu'une question du type "résoudre l'équation" ait un sens, il faut toujours préciser dans quel anneau (ou plus généralement quelle structure) on pose la question. L'équation $x^2=0$ (d'inconnue $x$) a un sens dans tout anneau, ça n'aurait donc pas de sens de la résoudre puisque, comme tu t'es rendu compte, la réponse dépend très fortement de l'anneau considéré.
  • julian
    julian
    Depuis quand l'énoncé X2 +1=0 a-t-il une, au moins, solution dans R ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il serait bon de savoir faire la différence entre "avoir un sens" et "avoir une solution".
  • julian
    julian
    Désolé, j'étais hs... Hah les vapeurs de l'alcool...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 0