Une conjecture très générale
dans Algèbre
Soit $X,T$ des anneaux commutatifs unitaires. Il sera noté:
1/ $T(X,Y):=$ l'ensemble des $f:X\to Y$ telles que $\forall x,y$ dans $X [ f(x+y) = f(x) + f(y)$ et $f(0)=0]$
2/ $W(X,Y):=$ l'ensemble des $f:X\to Y$ telles que
$\forall x,y$ dans $X [ f(x+y) = f(x) + f(y)$ et $f(xy) = f(x)f(y)$ et $f(1)=1$ et $f(0)=0]$
3/ La conjecture est la suivante:
pour tous anneaux commutatifs unitaires, $A,B$ et pour tout $f\in T(A,B)$,
il existe deux suites finies $g_1,..,g_n$ et $h_1,..,h_n$ (de même longueur, donc) telles que
3.1/ chacune des $g_i$ est dans $T(B,B)$
3.2/ chacune des $h_i$ est dans $W(A,B)$
3.3/ pour tout $x\in A: f(x) = [g_1(h_1(x)) + \dots + g_n(h_n(x))]$
Evidemment, je vous invite à tenter de la casser plutôt que de la démontrer, car elle semble forte.
1/ $T(X,Y):=$ l'ensemble des $f:X\to Y$ telles que $\forall x,y$ dans $X [ f(x+y) = f(x) + f(y)$ et $f(0)=0]$
2/ $W(X,Y):=$ l'ensemble des $f:X\to Y$ telles que
$\forall x,y$ dans $X [ f(x+y) = f(x) + f(y)$ et $f(xy) = f(x)f(y)$ et $f(1)=1$ et $f(0)=0]$
3/ La conjecture est la suivante:
pour tous anneaux commutatifs unitaires, $A,B$ et pour tout $f\in T(A,B)$,
il existe deux suites finies $g_1,..,g_n$ et $h_1,..,h_n$ (de même longueur, donc) telles que
3.1/ chacune des $g_i$ est dans $T(B,B)$
3.2/ chacune des $h_i$ est dans $W(A,B)$
3.3/ pour tout $x\in A: f(x) = [g_1(h_1(x)) + \dots + g_n(h_n(x))]$
Evidemment, je vous invite à tenter de la casser plutôt que de la démontrer, car elle semble forte.
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Réponses
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,2173344,page=26#msg-2173344
Soit $E$ un ensemble, $A$ un anneau commutatif et unitaire.
Soit $f$ de $A^E$ dans $A$ telle que $\forall x,y: f(x+y)=f(x) + f(y)$.
Quand $F$ est une partie de $E$, on a donc l'application $f'$ telle que $\forall x\in A^F : f'(x) = f(x')$ en notant $x'$ la prolongation de $x$ à $E$ avec que des $0$. Dans la suite, je garderai la notation $f$ (le changement est d'ailleurs inutile et dû à un défaut du langage ampoulé que les maths ont construit qui aurait pu être évité en définissant mieux la notion de fonction, mais peu importe).
Conjecture: il existe une partition de $E$ en un nombre fini de morceaux $M$ tels que la $f:A^M\to A$ évoquée est de la forme $g\circ h$ où $h$ est non seulement additive, mais AUSSI multiplicative et où $g$ est additive de $A\to A$.
Soit $A=\Z [\sqrt{2}] \times \Z$ et $B=\Z$.
Si $f$ est un morphisme d'anneau de $A$ dans $B$, $f(1,1)=1$.
Soit $e=f(1,0)$, $e^2=e$, donc $e=1$ ou $e=0$. Si $e=1$, soit $r=f(\sqrt{2},1)$, alors $r^2=f(2,1)=f(1,0)+f(1,1)=e+1=2$, ce qui est impossible dans $\Z$, car $r \in \Z$, donc $e=0$.
Donc, pour tout $x,y$, $f(x,y)=f(y,y)+f(x-y,0)=y+f(x-y,0)f(1,0)=y+f(x-y,0)e=y$.
Soit $h$ le morphisme de groupe de $A$ dans $B$ tel que $h(a+b\sqrt{2},c)=b$, alors
$h$ ne s'écrit pas $h(x)=m_1(f(x))+\cdots+m_k(f(x))$, avec $m_i$ des morphismes de groupe de $B$ dans $B$, car $h(\sqrt{2},0)=1$ et $f(\sqrt{2},0)=0$.