Comprendre les schémas en groupe

Hello

Une petite remarque, on est pas obligé de représenter $\mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1$ par l'anneau $k[t] \otimes k[t]$ et le point générique $(1 \otimes t, t \otimes 1)$. On peut prendre un modèle polynomial du produit tensoriel, i.e représenter par $k[X,Y]$ et le point générique $(X,Y)$, et l'addition devient $X+Y$ et la co-multiplication (enfin co-addition plutôt )$t \mapsto X+Y$.

La multiplication sur $Spec(R)$ est un morphisme $Spec(R)\times Spec(R) \to Spec(R)$, i.e. (comme $\otimes$ est un coproduit) $Spec(R\otimes R)\to Spec(R)$.
Comme le plongement de Yoneda est pleinement fidèle, ça correspond à un morphisme $R\to R\otimes R$, c'est ça la comultiplication.
Pareil, l'unité de notre groupe est un morphisme $Spec(k)\to Spec(R)$, qui correspond donc à un morphisme $R\to k$, c'est ça la co-unité.

Pour les "calculer", on suit simplement la preuve du lemme de Yoneda, qui nous dit que pour trouver à quel morphisme $R\to R\otimes R$ correspond $Spec(R\otimes R)\to Spec(R)$ correspond, il suffit d'évaluer en $R\otimes R$ (donc si $R=k[t]$ et qu'on regarde le groupe additif, on évalue en $k[t]\otimes k[t]$ : on regarde le groupe additif de $k[t]\otimes k[t]$), puis en $id_{R\otimes R}$.

Donc ce n'est pas une question de facilité, c'est juste que c'est comme ça que c'est défini.

C'est comme ça qu'on voit qu'il suffit de regarder l'image de $(t\otimes 1, 1\otimes t)$. Comme tu le vois dans ce cas, ce n'est pas (du tout du tout) forcément de la forme $x\mapsto x\otimes x$ - c'est d'ailleurs rarement de cette forme là, même l'existence d'un $x$ non trivial qui vérifie $\Delta(x) = x\otimes x$ n'est pas en général assurée.

Le terme de générique utilisé plus haut n'est pas du tout dans le sens de point générique au sens schématique, c'est simplement au sens le "point courant" (ce qui n'est pas le cas dans le message que j'avais écris dans l'autre fil).

Ben je veux bien t'expliquer mon message de plus haut (ou t'expliquer pourquoi tout groupe algébrique affine est linéaire, c'est assez élémentaire comme résultat), mais peut etre peux tu dire ce qui t'y parait obscur?

Prend $k=\mathbb{C}$ un groupe algébrique affine c'est une sous variété affine, disons $G$, de $\mathbb{C}^n$, défini par des équations polynomiales, et équipé d'une multiplication $\mu: G\times G\to G$ qui soit algébrique (donnée par des polynomes) ainsi que d'un point de $G$ qui soit le neutre, et d'une inversion $\iota: G\to G$ là aussi algébrique, et qui vérifie les axiomes usuels d'un goupe.
Si $f$ est une fonction de $G$ dans $\mathbb{C}$, alors on peut voir $f$ comme une fonction de $G\times G$ dans $\mathbb{C}$ donnée par $f\circ \mu$, l'application que l'on obtient $\Gamma(G)\to \Gamma(G\times G) $ s'appelle la comultiplication. Comme $G$ est une variété affine et que $\mathbb{C}$ est algébriquement clos et que $G$ est lisse alors $\Gamma(G\times G)=\Gamma(G)\otimes \Gamma(G)$ (ceci est un faux problème schématiquement, pour deux $R$-schémas affines, on a toujours $\Gamma(X\times_R Y)= \Gamma(X)\otimes_R \Gamma(Y)$, mais en fonction de la notion de variété que l'on prend, il peut y avoir qqch à vérifier ici qui utilise le fait que $\mathbb{C}$ est algébriquement clos).

En général on prescrit toujours les morphismes de variétés en se donnant les morphismes sur les anneaux de fonctions (les $\Gamma(X)$) parce que c'est exactement comme ca qu'on se les donne dans la pratique.

La comultiplication dans le cas du groupe additif est simplement le morphisme qui à $f$ (fonction sur $\mathbb{C}$) associe $\delta(f)$ fonction sur $\mathbb{C}^2$ défini par $\Delta(f)(x,y)=f(x+y)$.
Comme $\Gamma(\mathbb{C}))=\mathbb{C}[t]$, on se contente en general de donner l'image de $t$ qui s'envoie donc sur la fonction sur $\mathbb{C}^2$ qui a $(x,y)$ associe $x+y$, c'est $t\circ p_1+t\circ p_2$. Comme dit plus haut, via l'identification $\Gamma(G\times G)=\Gamma(G)\otimes \Gamma(G)$, alors $t \circ p_1$ c'est $t\otimes 1$ et $t\circ p_2$ c'est $1\otimes t$ (c'est simplement l'isomorphisme $\mathbb{C}[T] \otimes \mathbb{C}[T] \simeq \mathbb{C}[X, Y]$ )

Bref, le groupe algébrique additif sur $\mathbb{C}$ c'est $\mathbb{C}$ muni de l'addition, simplement revisité avec un langage un poil different.

Hello Ignatus,

Tiens j'avais confectionné un petit exemple de groupe pour m'amuser un peu. Normalement j'ai vérifié le truc, espérant que je n'ai pas commis d'erreur (si y'a une connerie je serai content de le savoir).

Soit $k = \Z[ X ]$, j'identifie la catégorie des $k$-algèbre à la catégorie suivante : pour objet je prend les couples $(R,r)$ où $r \in R$, un morphisme entre deux objets $(R,r)$ et $(R',r')$ est un morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ vérifiant $\phi(r) = r'$.

Je note $G$ le foncteur donné par $(R,r) \mapsto \{ e \in R/rR \mid e^2 = e \}$ pour un morphisme $\phi : (R,r) \to (R',r')$ et bien par définition l'image de $r$ est $r'$ et j'ai un morphisme quotient $\overline{\phi} : R /rR \to R' /r'R'$, et puisque $\overline{\phi}$ est un morphisme d'anneau on a que si $e ^2 = e$ dans $R/rR$ alors $\overline{\phi}(e) ^2 = \overline{\phi}(e)$. Donc $G$ est bien un foncteur.

On note : $\star : G \times G \to G$ donné par $\star_{R,r} : G(R,r) \times G(R,r) \to G(R,r)$, $(e_1,e_2) \mapsto e_1e_2+(1-e_1)(1-e_2)$. On note $\text{Inv} : G \to G$ le morphisme identité et $1 : \bullet \to G$ qui sélectionne $1 \in R/r$.

Exercice : montrer que $(G,\star,1,\text{Inv})$ est un schéma en groupe (sur $k$).

Salut,

Pour l'identification. C'est la propriété universelle des anneaux de polynômes. Non ce n'est pas une sous-catégorie des $k$-algèbre, c'est la catégorie des $k$-algèbre sauf connerie de ma part.

1. Soit $k= \Z[X]$, une $k$-algèbre c'est la donné d'un anneau $R$ et d'un morphisme d'anneau $\iota_R : \Z[X] \to R$ (je pense qu'on dit morphisme structurel), mais un tel morphisme correspond à la donné de l'image de $X$ qui est un élément de $R$. Donc finalement, tu peux identifier une $k$-algèbre a la donné d'un couple $(R,r)$ où $r \in R$. De même, un morphisme de $k$-algèbre est un morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ tel que $\iota_{R'} = \phi \circ \iota_R$. Ce la revient à la condition que j'ai donné sur les morphismes. J'aime bien cette identification de la catégorie des $\Z[X]$-algèbre pour construire des foncteurs car ça te donne directement les données dont tu as le droit pour les construire ici un anneau $R$ et un point $r$ de l'anneau $R$ te permet de construire avec les données le quotient $R/ rR$.



2. En fait c'est une construction générale. Soit $C$ une catégorie et soit $X : C \to \text{Ens}$ un foncteur covariant. On peut former la catégorie de Grothendieck de $X$ dont les objets sont les couples $(R,\zeta)$ avec $R$ un objet de $C$ et avec $\zeta \in X(R)$ et les morphismes sont les morphismes $\phi : R \to R'$ qui respecte le point $\zeta$ i.e un morphisme de $(R,\zeta) \to (R',\zeta')$, c'est un morshime $\phi : R \to R'$ tel que $X(\phi)(\zeta) = \zeta'$. Le lien avec le point $1$, c'est de faire cette construction pour le foncteur $\mathbb{A}^1 : \text{Ring} \to \text{Ens}$. On parle également de la catégorie des points de $X$.

3. Pour l'exercice, il faut tout vérifier. Le fait que pour chaque anneau, $G(R,r)$ est bien un groupe et que lorsque tu te donne un morphisme $\phi : (R,r) \to (R',r')$, le morphisme correspondant $G(\phi) : G(R,r) \to G(R',r')$ est un morphisme de groupe (pas oublié ça). Ensuite, il fait prouver que le foncteur que je donne est bien un schéma ( c'est un vrai schéma pour le coup et pas un anneau !!!) ce n'est pas une évidence ! Je pense que si tu regardes les couples $(R,r)$ avec $R$ un corps est peu être pas mal pour commencer et avoir une idée !


Une remarque : c'est juste un amusement car je n'y connais pas grand chose en algèbre et géométrie algébrique. Noname aura sans doute des exemples plus intéressant, mon bidule c'est juste pour matérialiser les définitions et se rendre compte des difficultés ou non !