Le groupe $SO_{3}(\mathbb{R})$

mcd · January 2021

Bonjour

Pourquoi $r$ et $r^{-1}$ sont conjugué dans $SO_{3}(\mathbb{R})$ ?

mcd · January 2021

avec $r \in SO_{3}(\mathbb{R})$

NoName · January 2021

Par ce que $A$ et $A^T$ sont toujours conjugués.

mcd · January 2021

La matrice de passage est-elle de déterminant $1$ ?

Math Coss · January 2021

Ça, c'est vrai mais c'est savant (je ne connais pas de démonstration sans la décomposition de Jordan ou les invariants de similitude).

Une version moins savante consiste à remarquer que $r$ est une rotation donc elle a un axe $\R u$ (i.e. la droite engendrée par un vecteur $u$ et orientée par celui-ci) et un angle $\theta$. Si on oriente la droite par le vecteur $-u$, l'angle associé à $r$ est $-\theta$. Or si $(u,v,w)$ est une base orthonormée directe, $(-u,w,v)$ en est une aussi. Si la matrice de $r$ dans la première base est notée $R$, c'est $R^{\mathsf{T}}=R^{-1}$ dans la deuxième base.

Cela montre que toute matrice de $\mathrm{SO}_3(\R)$ est semblable à sa transposée, qui est son inverse.

Version calculatoire du même argument (pourquoi ?) : si $A$ est dans $\mathrm{SO}_3(\R)$, elle est semblable, pour $\theta$ réel convenable, à \[A'=
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\] et \[
\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&\sin\theta\\0&-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\] ce qui montre que $A'$ est semblable à son inverse et entraîne que c'est vrai de $A$.

mcd · January 2021

Merci Math Coss, je trouve votre preuve très jolie !

Mais certains passages sont un peu flou, permettait moi d'écrire pour voir ce que j'ai vraiment compris. Il existe une droite $D$ stable tel que $r_{|D} = id$ et un plan $F$ stable tel que $u_{|F} = R_{\theta}$.

A présent, $r^{-1}$ est la rotation d'axe $u$ d'angle $-\theta$. Je ne sais pas comment prouver que cela revient à montrer qu'il s'agît d'une rotation d'angle $\theta$ et d'axe $-u$.

En admettant ce résultat, il faut trouver un élément $ \rho \in SO_{3}(\mathbb{R}))$ tel que $\rho(u)=-u$, c'est la rotation d'axe d’angle $\pi$ et d’axe orthogonal à $u$. A présent on regarde $ \rho r \rho^{-1}$, on le regarde sur $D$ puis sur $F$.
- Si $d \in D$ alors $ \rho r \rho^{-1} (d) = d$ car $\rho$ stabilise $D$ par construction.
- Sur $F$ il faut trouver l'angle, on sait qu'il s'agit d'une rotation. Enfin faut quand même montrer que $F$ est stable mais je prend $F$ le plan normal à $u$ je pense que j'ai le droit, sinon n'hésitait pas à me le signaler. Dans ce cas la stabilité vient de la construction.
En vrai même dans ce cas j'ai du mal à conclure.

Il y a donc deux points qui me gênent.

mcd · January 2021

Pour le cas dans $F$ je vois ce qui se passe géométriquement mais je ne suis pas sur de tourner de $-\theta$

nicolas.patrois · January 2021

En gros, tu peux faire faire un demi-tour à ton axe de rotation.

mcd · January 2021

Pas convaincu !

mcd · January 2021

Je sais pas s'il existe des questions intermédiaires pour me faire comprendre. Si oui ce je joue le jeu avec plaisir.

Frédéric Bosio · January 2021

Une façon simple de voir que $r$ et $r^{-1}$ sont conjuguées dans $SO(3,{\mathbb R })$ est de donner une rotation qui les conjugue. Disons que $r$ est une rotation d'axe $\Delta $, alors la conjuguée de $r$ par un demi-tour d'axe orthogonal à $\Delta $ donne $r^{-1}$.

side · January 2021

supp

Math Coss · January 2021

Je réponds à la question « pourquoi ? » de ce message. Soit $r$ un élément de $\mathrm{SO}_3(\R)$. Elle admet une valeur propre réelle et deux complexes conjuguées ou bien trois valeurs propres réelles. Son déterminant, qui est le produit des trois, est $>0$ donc elle admet une valeur propre $>0$. Comme c'est une isométrie, cette valeur propre est $\pm1$ et elle est positive : $r$ admet un vecteur fixe $u$ qu'on peut choisir de norme $1$.

On fixe une base $(v,w)$ orthonormée du plan orthogonal à $\R u$ de sorte que $(u,v,w)$ soit directe. De $u\cdot v=0$ et $r(u)=u$ on déduit que $u\cdot r(v)=r(u)\cdot r(v)=u\cdot v=0$. De plus, $\|r(v)\|=1$. Il existe donc $\theta$ réel tel que $r(v)=\cos\theta v+\sin\theta w$. Comme $r(w)$ est orthogonal à $u$ et $r(v)$, on déduit qu'il est colinéaire à $u\wedge r(v)=-\sin\theta v+\cos\theta w$. Pour des raisons de norme, $r(w)=\pm(-\sin\theta v+\cos\theta w)$. Le calcul du déterminant montre que dans la base $(u,v,w)$, la matrice de $r$ est \[A'=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.\]Comme $A'$ est semblable à son inverse (cf. plus haut), $r$ est conjuguée à son inverse.

On peut rapprocher ce calcul de la réponse de Frédéric Bosio. En effet, la matrice que j'ai utilisée est celle d'une rotation et c'est une involution, donc c'est un demi-tour autour de la droite fixe, qui est engendrée par $v+w$. On voit directement sur la matrice que $u$ est envoyé sur son opposé – c'est d'ailleurs pour cela que cette matrice a été choisie (elle envoie la base $(u,v,w)$ sur $(-u,w,v)$ !).

mcd · January 2021

@Frédéric Bosio : Ce serait cool si je savais le montrer.

@Side : Merci, c'est pas mal comme astuce, je crois que j'ai déjà démontrer plus ou moins ce résultat. Toutefois je crois que le déterminant de $s_{1}$ est $-1$ non ?

mcd · January 2021

@Math Coss : Merci mais je ne suis toujours pas persuadé. Je vais essayer d'écrire en maths le conseil de Frédéric Bosio voir ce que je comprends.

Alors notons $p$ la rotation d'axe $\Delta ' \bot \Delta$ et d'angle ${\pi \over 2}$.
Déjà je fais un dessin voir si c'est clair. Par exemple si je prend $u \in \Delta$, j'effectue
$$
p^{-1} r p.

$$ Je le décale de ${\pi \over 2}$ dans le plan contenant $\Delta$. J'applique $u$ je tourne de $\theta$ dans le plan contenant $\Delta'$. Enfin j'applique $- {\pi \over 2}$ autour de $\Delta'$.
Bon ça n'a pas marcher. Je vous enverrai un dessin.

Enfin mon but sera de calculer $\quad
p^{-1} r p.
$

Peut-être qu'on peut essayer de déterminer les éléments caractéristique angle et axe invariant. Je me dis que ça doit être équivalent à la donnée d'une rotation. Ou peut-être qu'il y a un autre moyen de faire.
Alors je pense avoir déjà plus au moins essayer.

mcd · January 2021

Voilà

.

mcd · January 2021

Comment on pivote la photo ?

Math Coss · January 2021

Pour comprendre la proposition de Frédéric Bosio, tu peux envisager de lire les miennes...

Pour modifier la réponse de side, tu peux remplacer $s_1$ par $s_1s_3$, où $s_3$ est une réflexion dont le plan est perpendiculaire à ceux de $s_1$ et $s_2$, qui commute donc à $s_1$ et $s_2$ (pourquoi ?). Devine quoi ? Tu tombes sur un demi-tour qui renverse l'orientation de l'axe de $r$. Étonnant, non ? Ben, non.

mcd · January 2021

J'ai bien entendu lu votre réponse.

mcd · January 2021

Et j'ai compris ce que vous faites, c'est très clair !

mcd · January 2021

Votre réponse répond en plus à une autre question que j'avais qui est

Merci a écrit:

Soit $r \in SO_{3}(\mathbb{R})$ il existe $\gamma \in SO_{3}(\mathbb{R})$ tel que $r = \gamma^{2}$

En effet, il existe une rotation $p$ (matrice dont les colonnes forment une base orthonormée directe) tel que
$$
prp^{-1} =\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos {\theta \over 2} &-\sin {\theta \over 2} \\0&\sin {\theta \over 2} &\cos {\theta \over 2} \end{pmatrix}^{2} := \gamma^{2}
$$
D'où $r = (p^{-1}\gamma p)^{2}$

On pourrait juste dire on prend la rotation de même axe que $r$ et d’angle moitié mais avec votre méthode on dit plus. On change de base, pour avoir une rotation autour de l'axe des $x$.

mcd · January 2021

Comment vous justifiez que
$$
u\wedge r(v)=-\sin\theta v+\cos\theta w.

$$ Ensuite dans votre méthode il faut trouver
$$
\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.

$$ C'est le point délicat.

mcd · January 2021

Merci a écrit:

Pour modifier la réponse de side, tu peux remplacer s1 par s1s3, où s3 est une réflexion dont le plan est perpendiculaire à ceux de s1 et s2, qui commute donc à s1 et s2 (pourquoi ?). Devine quoi ? Tu tombes sur un demi-tour qui renverse l'orientation de l'axe de r. Étonnant, non ? Ben, non.

J'ai du mal à voir ce qu'il se passe, ça me fait mal à la tête de rajouter $s_{3}$ :)o. Je comprends votre exigence Math Coss, cela vous a surement permis d'atteindre un niveau mathématiques extraordinaire. Je m'excuse d'avoir du mal à suivre bien que j'essaye :-(

mcd · January 2021

mini_calli mini_QI :)o

PS : Ma femme rajoute mini_::o

side · January 2021

supp

Math Coss · January 2021

mini_calli a écrit:

On pourrait juste dire on prend la rotation de même axe que $r$ et d’angle moitié mais avec votre méthode on dit plus. On change de base, pour avoir une rotation autour de l'axe des $x$.

« Ma » méthode consiste à choisir une base adaptée à $r$ et à écrire la matrice de $r$ dans cette base. Cela permet de remplacer les considérations géométriques qui font mal à la tête par des calculs (par exemple, remplacer $\theta$ par $\theta/2$ pour obtenir une « racine carrée » ; cf. ci-dessous).

C'est l'occasion de pointer les deux façons de considérer une relation $A'=PAP^{-1}$ :

on considère $A$ et $A'$ comme deux matrices de la même application linéaire dans des bases différentes (par exemple, la rotation d'axe $\R u$ et d'angle $\theta$ est la rotation d'axe $\R(-u)$ et d'angle $-\theta$) ;
on considère $A$ et $A'$ comme les matrices de deux applications linéaires dans la même base (par exemple, la rotation d'angle $\theta$ autour de $Ox$ et la rotation d'angle $\theta$ autour de $\R u$) ; il ne faut toutefois pas s'étonner que ce qui se passe pour l'une se passe pour l'autre (par exemple, l'existence de « racines carrées »).

Ce que propose side, c'est d'écrire $r$ comme composée de deux réflexions. Dans une base $(u,v,w)$ où $u$ dirige l'axe de $r$, on peut prendre pour matrices de $s_1$ et $s_2$ : \[
S_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&\sin\theta\\0&\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad
S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.\] Les plans fixes de $s_1$ et $s_2$ contiennent la droite $\R u$ ; la réflexion $s_3$ d'axe $(\R u)^\perp$ a pour matrice \[S_3=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.\] Elle commute avec $s_1$ et $s_2$ (car $S_1S_3=S_3S_1$ et $S_2S_3=S_3S_2$ ; pour le voir sans calculs, travailler séparément sur $\R u$ et sur $(\R u)^\perp$) et en fait, \[S_2S_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix},\] qui est (la matrice dans $(u,v,w)$ d')un demi-tour qui envoie $u$ sur $-u$, i.e. renverse l'orientation de l'axe.

mcd · February 2021

Bonjour Math Coss
Vous m'avez convaincu, les gens qui utilise la géométrie pour acquérir un free lunch n'ont pas emporté mon adhésion.
Je tenais à vous remercier Math Coss de m'avoir fait progresser.
Je me demandais comment vous aviez trouvé
$$
u\wedge r(v)=-\sin\theta v+\cos\theta w.

$$ Mais finalement je crois que je peux m'en sortir autrement. Pour rappeler le contexte on cherche à construire une base tel que $r$ admet la forme suivante
$$
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.

$$ Le polynôme caractéristique de $r$ est de degré $3$ il admet donc une racine réelle et le produit des racines vaut $1$, il vient que la racine réelle est positive. Comme $r$ est une isométrie c'est $1$.
On a donc une droite stable engendrée par $u$ qu'on complète en une base orthonormale en ajoutant $(v,w)$.
Puisque $r(v)$ est de norme $1$ il existe $\theta \in [0;2\pi[$ tel que $r(v)= \cos(\theta)v + \sin(\theta)w$. Et comme $r$ est un endomorphisme orthogonal l'image de la famille orthogonale $(v,w)$ est orthogonale. Donc $r(w)$ est dans la droite engendrée par $ - \sin(\theta)v + \cos(\theta)w$, comme $r(w)$ est de norme $1$ et $\det(r)=1$ on en déduit que $r(w) = - \sin(\theta)v + \cos(\theta)w$.
Ce qui achève la preuve d'une manière je crois aussi rapide.

Deuxièmement, je cherchais à mémoriser la nature de
$$
\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.

$$ C'est ici que l'intuition géométrique à prendre en compte, ce n'est toujours pas claire.

mcd · February 2021

Plus précisément il agit comme une symétrie de centre $0$ sur l'axe $x$. Et dans le plan orthogonal à la droite engendrée par $u$ elle permute les coordonnées. Je dirais alors que c'est le réflexion par rapport à la première bissectrice.

side · February 2021

supp

Math Coss · February 2021

Comment trouver $u\wedge r(v)=-\sin\theta v+\cos\theta w$ ?

Première façon : c'est un vecteur orthogonal à $u$ donc une combinaison linéaire de $(v,w)$ ; il est orthogonal à $r(v)$ (qui a pour coordonnées $\binom{a}b=\binom{\cos\theta}{\sin\theta}$ dans la base orthonormée $(v,w)$ de $(\R u)^\perp$) donc colinéaire à celui qui est écrit (qui est $\binom{-b}a=\binom{-\sin\theta}{\cos\theta}$) ; sa norme est $1$ donc le coefficient de proportionnalité est $\pm1$ ; la base $(r(u),r(v),r(w))$ est directe donc le coefficient est $1$.
Deuxième façon : en calculant dans la base $(u,v,w)$, ses coordonnées sont $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}0\\\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}$.
Troisième façon ? Il y a certainement une troisième façon.

Attention à deux imprécisions :

il est possible que $r$ ait trois valeurs propres réelles : pour un demi-tour, ce sont $1$, $-1$, $-1$ ;
quand on complète $u$ en une base $(u,v,w)$, il est prudent d'exiger qu'elle soit non seulement orthonormée mais aussi directe.

La nature de $\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ ?

On voit un vecteur propre (premier vecteur de base) et un plan stable (engendré par les deux suivants, disons $v$ et $w$).
Dans le plan, la matrice permute les deux vecteurs : c'est une symétrie d'axe engendré par la somme des deux vecteurs $v+w$ (de coordonnées $\binom{1}{1}$ dans la base $(v,w)$).
Version matricielle : on voit que $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est fixe et que $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ sont propres pour la valeur propre $-1$ (« intuition algébrique » ? juste la lecture éduquée de la matrice ?).

Côté intuition, il faut développer un peu d'intuition géométrique et en parallèle, s'habituer à faire et à éviter les calculs algébriques. Malgré ce que j'écris, j'écris avec en permanence une image en tête qui est (plus ou moins) la même que side. La différence, c'est que je le traduis en langage plus algébrique.