Normalisateur et inégalité des indices

Bonsoir à tous !!
Depuis quelques temps je bloque sur ces questions.
Soit $G$ un groupe fini, $H$ un sous-groupe de $G$, $x$ un élément de $G\setminus Z(G),$ où $Z(G)$ est le centre de $G$.
On note $N(H)$ le normalisateur de $H$.
1) Montrer que si G est d'ordre $p^{r}m$ où p est un entier premier et H un p-sous groupe de Sylow alors $N(N(H))=N(H)$;
2) Si $G$ est non abélien, montrer que :
$1<[G:C(x)]<[G:Z(G)] $
3) On suppose que $G$ est non abélien et d'ordre $ p^n, $ où $p$ est un entier naturel premier et $n\in \N$.
i) Montrer que $p<[G:Z(G)]$.

Pour 1) , comme tout sous-groupe est normal dans son normalisateur par définition alors on a toujours $ N(H) \subset N(N(H))$
Pour montrer la seconde inclusion les choses deviennent compliquées. Voici néanmoins comment j'ai abordé le problème.
On a $N(H)=\{a \in G \mid aH=Ha \}$; $N(N(H))=\{b \in G\mid bN(H)=N(H)b \}$.
J'ai essayé de prouver cela directement en utilisant la définition mais j'ai coincé. J'ai alors voulu montrer que $H$ est normal dans $N(N(H))$.
Mais je me suis toujours trouvé bloqué.
Pour le 2) j'ai remarqué que comme $x \notin Z(G)$, alors il existe $y \in G$ tel que $xy \neq yx$ et à partir de ça je montre l'existence d'au moins deux classes à gauche suivant $C(x)$ et j'ai ma première inégalité.
Pour la seconde je n'ai aucune idée.
Pour la question 3) je n'ai également aucune idée.
J'ai besoin d'aide svp.