Théorème de Lagrange

OShine · February 2021

Bonjour
N'ayant pas encore acheté le livre, j'ai juste accès aux exercices du chapitre mais pas à la correction. Je bloque à la question 2.

Question 1 :

Réflexivité :
Soit $x \in H$. On a $x^{-1} x=1_G \in H$ car $H$ est un sous-groupe de $G$.

Symétrie :
Soit $x,y \in G$. Si $x$ est en relation avec $y$ alors $x^{-1} y \in H$. Mais alors $(x^{-1} y)^{-1}=y^{-1} x \in H$ car $H$ est stable par passage à l'inverse.

Transitivité :
Soit $x,y,z \in G$ tel que $x^{-1} y \in H$ et $y^{-1} z \in H$. Alors $x^{-1} y y^{-1}z=x^{-1} z \in H$

Classe d'équivalence :
$cl(x)= \{ y \in G \mid x \ \mathcal R y \}=\{ y \in G \mid x^{-1} y \in H \}$.
Mais $x^{-1} y \in H$ si et seulement si $y \in xH$.
Donc $\boxed{cl(x)=\{ y \in G \mid y \in xH \}= x H}$ 116706

[Utilisateur supprimé] · February 2021

La rédaction est propre je trouve :-)
Pour montrer que des ensembles ont même cardinal, on essaie souvent de les mettre en bijection. Il y en a peut-être une qui te viendrait naturellement en tête ?

OShine · February 2021

$\newcommand{\card}{\mathrm{card\,}}$Oui c'est vrai j'ai toujours du mal alors que je devrais avoir ce réflexe de chercher une bijection.

Soit $x \in G$.
Je considère l'application $\begin{array}[t]{cccl}
\phi :& H& \longrightarrow& xH \\
& h& \longmapsto& xh
\end{array}$
Montrons qu'elle réalise une bijection de $H$ dans $xH$.

Soit $y \in xH$. On cherche à résoudre $\phi(h)=y$ avec $h \in H$. Ce qui revient à résoudre $xh=y$.
Il existe une unique solution qui est $h=x^{-1} y$.

$\phi$ est bijective et donc $\boxed{card (xH)=card(H)}$

Question 3 :

Les classes d'équivalence forment une partition de $G$ qui est fini. Notons $k$ le nombre de ces classes d'équivalence.
On a alors $k \times \card( xH)=\card(G)$ donc $\boxed{\card(H) \mid \card(G)}$.

Je bloque un peu à la question 4.
Je suis parti de :

Soit $x \in G$. L'ordre $p$ de $x$ vérifie $\boxed{\forall n \in \N, \ x^n=1_G \Leftrightarrow p \mid n}$.
Il faudrait montrer que $x ^{\card(G)}=1_G$ mais je ne vois pas comment :-S

[Utilisateur supprimé] · February 2021

On cherche à déduire le théorème de Lagrange du résultat 3 (qui est plus fort), par exemple en cherchant un sous-groupe pertinent pour cette question (si en plus son cardinal était l'ordre d'un élément de $G$, ce serait gagné !).

Thierry Poma · February 2021

@OS :

Réflexivité :
Soit $x \in H$. On a $x^{-1} x=1_G \in H$ car $H$ est un sous-groupe de $G$.

Et moi qui pensais que $\mathcal{R}$ était une relation binaire entre éléments de $G$.

OShine · February 2021

D'accord merci.

Soit $x \in G$.
Soit $d$ l'ordre de $x$. On peut considérer le sous-groupe de $G$ suivant $H=\{1_G,x, \cdots x^{d-1} \}$

Montrons que c'est un sous-groupe de $G$.
$1_G \in H$.
Le produit de 2 éléments de $H$ est clairement dans $H$ car $x^d=1_G$.
Tout élément admet un inverse $x^{-k}$. Soit $k \in [|1,d-1|]$. Alors $-(d-1) \leq -k \leq -1$
$x^{-k} =x^{-k} x^d=x^{d-k}$ avec $1 \leq d-k \leq d-1$ donc $x^{-k} \in H$.

Mais comment être sûr que $card(H)=d$ ? Deux éléments peuvent être égaux :-S

OShine · February 2021

Thierry merci pour la rectification. C'est une coquille de ma part, c'est $G$ et non $H$.

rakam · February 2021

OShine dixit : Deux éléments peuvent être égaux
éléments de quoi ?
Que signifie ordre d'un élément ?

OShine · February 2021

L'ordre de $x \in G$ c'est la plus petit entier $n$ tel que $x^n=1_G$

Je parlais de deux éléments du sous-groupe $H$ que j'ai introduit pour prouver que son cardinal est $d$.

Mrs.Robinson · February 2021

Par le morphisme $\phi$ de $\mathbb{Z}$ dans $H$ tel que $\phi(k)=x^k$ on montre que $H$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ car son noyau est $d\mathbb{Z}$ et son image est $H$.

Mrs.Robinson · February 2021

OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2176932,2176984#msg-2176984

> Mais comment être sûr que $card(H)=d$ ? Deux éléments peuvent être égaux :-S

Oui par exemple $x^3$ et $x^{d+3}$.

OShine · February 2021

Merci mais je ne comprends pas le rapport entre le morphisme $\phi : \Z \longrightarrow H \ \ k \mapsto x^k$ et $H$ isomorphe à $\Z / d \Z$.

Je sais que le noyau de $\Z / d \Z$ est $d \Z$. Mais je ne vois pas de théorème permettant de conclure que $H$ est isomorphe à $\Z / d \Z$.

topopot · February 2021

Pour tout morphisme de groupes $\varphi:G\rightarrow G',\ $ $G/\ker(\varphi)\simeq\mathrm{Im}(\varphi)$. En particulier, $G/\ker(\varphi)\simeq G'$ lorsque $\varphi$ est surjectif.

Ce résultat est peut-être même plus important (à comprendre) que le théorème de Lagrange.

[Utilisateur supprimé] · February 2021

En fait, est-ce qu'il ne faudrait pas essayer de voir simplement mais proprement ce que c'est que cet objet $H$ ? Faire les liens entre $H =\, <x>\, = \{x^{k} \mid k \in \mathbb{Z} \}$ (est-ce un sous-groupe ?), l'ordre de $x$ défini par exemple comme le plus petit $k \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $x^{k}=e_{G}$ (existe-t-il ?) et le cardinal de $H$ ($G$ étant fini).
C'est une vraie question : en gros, comment classiquement (et sûrement dans ton livre, OShine) définit-on les choses suivantes ?
Parce que je trouve qu'il est parfois difficile de savoir ce qu'on a déjà construit et ce qu'on cherche à prouver, et par quels moyens. En espérant être clair.

Mrs.Robinson · February 2021

Peut-être pourrais-tu aussi étudier l'application $\Phi$ de $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ cette fois dans $H$ encore définie aussi par $\Phi(k)=x^k$ et montrer, proprement, que c'est bien un morphisme et qu'il est bijectif.
Le théorème que j'ai utilisé précédemment est le premier théorème d'isomorphisme mais c'est vrai qu'il est peut-être un peu trop fort pour ce que tu veux montrer.

OShine · February 2021

Topopot le premier théorème d'isomorphisme n'est pas dans mon cours.
Je me place au niveau MP.

[Utilisateur supprimé] · February 2021

OShine, je pense que ce n'est pas tant le niveau du cours que sa construction qui est importante: de quelles définitions on part, quels théorèmes ont déjà été démontrés, etc ... Cela dépend de ton cours je dirais, d'où ma remarque.
Tu peux tout à fait faire sans le premier théorème d'isomorphisme, et y revenir plus tard pour ré-interpréter certains résultats à l'aune de concepts plus forts (c'est ce que j'essaie de faire en apprenant, on comprend rarement tout à la première lecture d'un cours, en tout cas moi).

noobey · February 2021

Hello Oshine !

Soit $x \in G$

1) Comment montrer qu'il existe un entier positif $n$ non nul tel que $x^n = e$? Indice : L'application $n \to x^n$ n'est pas injective
2) Vu que l'ensemble des $n > 0$ tel que $x^n = e$ est non vide, il en existe un minimum noté $d = Ord(x)$
Pour montrer maintenant que $\{x^n, n \in \mathbb{Z} \}$ est de cardinal d :
a) Montrer que cet ensemble est de cardinal au plus $d$ en prenant $m \in \mathbb{Z}$ et en faisant la division euclidienne de $m$ par $d$
b) Montrer que cet ensemble est au moins de cardinal $d$ en prenant $0 \leq m \leq n < d$ et en montrant que $x^m = x^n$ implique $m = n$

Question bonus
3) Montrer que si $x^n = e$ si et seulement si $d$ divise $n$. Indice : penser à une division euclidienne

OShine · February 2021

Polka je suis le cours de MP sur les groupes anneaux arithmétique algèbres. Le programme ne comporte pas de théorème d'isomorphisme ou de groupes quotients.

J'ai du mal à assimiler beaucoup de choses en peu de temps donc je me vois mal bosser le premier théorème d'isomorphisme alors que je ne maîtrise pas le programme de MP.

A mon niveau connaître les bases ça serait déjà bien.

Noobey OK merci je cherche ça dans l'après midi.

OShine · February 2021

1) L'application $n \mapsto x^n$ n'est pas injective donc $\exists n \ne m$ tel que $x^n=x^m$.

Supposons $n>m$. Alors $x^{n-m}=e$. Posons $N=n-m >0$ ainsi il existe bien $N \in \N^{*}$ tel que $x^N=e$.

2) a) Soit $m \in \Z$. La division euclidienne de $m$ par $d$ donne : $m=dq+r$ où $0 \leq r <d$

Ainsi $x^m=x^{dq+r}=(x^d)^q x^r=x^r$ où $r \in [|0,d-1|]$

Donc $\boxed{\{x^n \ | n \in \Z \} \subset \{x^0, \cdots, x^{d-1} \}}$

b) Réciproquement, je n'ai pas réussi.

3) Si $d$ divise $n$ alors $n=dq$ avec $q \in \N$. Donc $x^n=x^{dq}=(x^d)^q=e$

Réciproquement soit $n \in \N$ tel que $x^n=e$.

De même que précédemment on écrit $n=dq+r$ avec $0 \leq r <d$.

Donc $x^r=e$. Mais $d$ est le plus petit entier naturel non nul tel que $x^d=e$. Donc $r=0$ et on en déduit que $d$ divise $n$.

noobey · February 2021

Ok.

Je suis sûr que tu peux reussir la b. Et tu peux préciser pourquoi l'appli est non injective

OShine · February 2021

L'application $\phi : \N \longrightarrow G \\ x \mapsto x^n$ n'est pas injective.

En effet, $G$ est un groupe supposé fini alors que $\N$ est infini. Ainsi, il existe $n,m \in \N$ avec $n \ne m$ tel que $x^n=x^m$ donc $\phi$ n'est pas injective.

On veut montrer que $card \{x^n \ n \in \Z \} \geq d$. En fait je n'ai pas trop compris pourquoi si on montre que $x^m=x^n \implies m=n$ cela permettra de conclure que $card \{x^n \ n \in \Z \} \geq d$

Soit $0 \leq m \leq n < d$ tel que $x^{m}=x^n$

Si $m \ne n$ alors $x^{m-n}=e$ ce qui est absurde car $m-n <d$.

Donc $m=n$. Mais je ne vois pas comment en déduire que le cardinal est au moins $d$.