Convergence de projetés orthogonaux

Ca c'est sûr. Des courbes très longues inscrites dans le carré unité, il y en a, mais des aires très grandes incluses dedans, il n'y en a pas.

En termes de calculs, je ne sais pas si cette différence majeure se traduit en une ligne, mais je suis (suivre) MrJ dans le pari qu'il en existe. Bien évidemment, je ne passerai pas ma journée de dyscalculique à chercher face à des experts entraînés comme toi bisam (pardon d'avance). Mais s'il n'existe pas un raccourci, j'en serais très très très très très très étonné :-D

Je donne quelques précisions, pour éviter d'être impoli, quand-même sur ce que mon post sous-entendait.

Si $f$ est Lipschitzienne de rapport $1$, alors on peut majorer (inclusion dans un rectangle étroit) par $1/n$ l'aire des points compris entre $0$ et la courbe de $||f-g||$ pour au moins une fonction $g$ affine par morceaux avec $n$ morceaux (et continue).

Il me semble que ça doit être pareil pour les polynômes.

Comme il s'agit d'un sujet de concours, j'imagine que des enchainements de WLOG** ne seraient pas satisfaisants pour toi bisam, donc je ne t'apporte pas grand chose (si ce n'est l'information "pour gens de nos âges" qu'on a un $\exists\forall$ au lieu d'un $\forall \exists$ qu'on apprécierait pour un autre contexte).

** Surtout que pour passer de continu à $C^1$ (en vue de Lipschitz par majoration de $|| f' ||$), faut remplacer $f(x)$ par $\int_0^1 f(t)(h(t)+x)dt$ avec des $h_n$ "en pic" au voisinage de $0$.

Peut-être en considérant une suite de polynômes orthogonaux $(P_n)$, chaque $P_n$ étant de degré $n$ et de norme $1$.
Soit $f$ une fonction continue, telle que, pour tout $n \in \N$, le produit scalaire de $f$ et de $P_n$ est nul, alors le produit scalaire de $f$ et de $x \mapsto x^n$ est nul pour tout $n$. Donc, pour tout $a,b \in \R$, $\int_0^1 f(t)be^{-a(t-t_0)^2}dt=0$ en développant en série entière $e^{-t^2}$. Donc $f$ est nulle en $t_0$, en prenant $b_ke^{-a_k(t-t_0)^2}$ qui tend vers un pic de norme $1$.

Donc l'orthogonal de l'ensemble des polynômes est $\{0\}$. Donc toute fonction continue est limite de polynôme.

Ça rejoint un peu l'idée de Christophe.

Bravo Marco!! On va voir si bisam estime que ça rentre dans les attendus MP qu'il référait, je pense pour ma part que oui, même si ça frôle un peu l'excellence calculatoire intriquée avec une bonne gestion des notions de convergence de L1-L2.

Il y a aussi une généralisation du théorème de Weierstrass que l'on montre sans utiliser les polynômes de Bernstein. Soit $K$ un compact, soit $A$ une algèbre de fonctions de $K$ dans $\R$ ou $\C$, qui sépare les points de $K$, qui contient la fonction constante $1$, qui est stable par $f \mapsto \overline{f}$, et qui est fermée pour la norme infinie, alors $A=C(K)$ où $C(K)$ est l'ensemble des fonctions continues de $K$ dans $\R$ ou $\C$.
Ici, l'ensemble des polynômes de $\R[X]$ sépare les points de $[0,1]$, contient $1$, est évidemment fermé par la conjugaison (car ce sont des polynômes réels). Donc la fermeture de l'ensemble des polynômes est $C([0,1])$.

Edit: en fait, c'est hors-sujet, car on cherche la convergence pour la norme $2$.

bisam a écrit:

je cherchais une preuve qui ne soit pas MP mais PSI ou PC car les MP ont bel et bien le théorème de Weierstrass dans leur escarcelle mais pas les PSI et PC.

Sinon, voici une solution "triviale" et sans aucun calcul, mais j'ignore si "la phrase hilbertiste magique" que je vais utiliser est "dans leur escarcelle".

1/ "Il suffit de prouver que" si $f\perp$ à l'espace des polynômes alors elle est nulle.

2/ Il est manifeste que si $f\perp$ à l'espace des affines par morceaux alors elle est nulle (prendre un petit pic de support où $f$ est de signe constant)

3/ Il est manifeste que si $g$, une affine par morceaux est $\perp$ à l'espace des polynômes alors elle est nulle. (prendre un polynôme qui change de signe aux même points que $g$ pour avoir "que du positif dans l'intégrale").

4/ CQFD.

Tu dois peut-être pouvoir transformer ça en calcul? :-S

Je ne peux pas répondre à tes questionnements calculatoires, mais en terme de sensibilité, je peux te dire que je trouverais dommage de "se faire autant de mal" pour un truc aussi trivial modulo l'acceptation de raisonner.

(++)C'est vrai que, vu le rappel fait par marco, SW donne déjà une version assez difficile à améliorer, mais il y a quand-même qu'on parle d'un algèbre, alors que le raisonnement que j'ai signalé ci-dessus montre que "à peu près" n'importe quoi est dense.

Dans une algèbre on multiplie. Il n'est pas dit qu'en passant de $L^\infty$ à $L^2$ on ait besoin de garder même ne serait-ce que le besoin de multiplier. (++). (Peut-être que le sous-espace VECTORIEL engendré pourrait suffire)

Je n'ai pas trop compris, $f$ étant quelconque, pourquoi "se fatiguer" (même si comme tu dis, la prise de projection sur un espace de dimension finie dont on a une base orthogonale est automatique) à vouloir explicitement faire converger ces projetés là. Et je ne savais pas que les polynômes de Bernstein faisaient l'affaire. Mais je suis de ton avis qu'ils feront évidemment l'affaire en $L^2$ tout autant qu'en $L^\infty$.

Bon, en tout cas, ma sensibilité est portée par le paragraphe (++) , parce que sinon, ça peut donner l'impression "d'une prison" où on "voudrait" que l'étudiant de PC n'ait pas "le droit" de voir qu'il y a bien d'autres familles que celle des polynômes. Mais ce n'est qu'un gout.

moi-même a écrit:

Et je ne savais pas que les polynômes de Bernstein faisaient l'affaire

Ce que je voulais dire est que je ne savais pas qu'ils réalisaient le minimum distanciel, of course, évidemment qu'ils convergent vers $f$, c'est célèbre $f$.

Dans le propos de bisam, est-il clair qu'il veut dire "ils réalisent le minimum"? Je l'ai compris comme ça puisque hier, il voulait qu'on n'évoque pas d'autres polynômes que les réalisateurs du minimum des questions d'avant.

J'insiste en tout cas que puisqu'il existe une solution évidente et sans calcul, il me parait dommage de faire converge "seulement" ces réalisateurs, leur convergence étant conséquence de la convergence de n'importe quelle autre suite.

Après tout dépend quelle place sociale on attribue aux physiciens dans l'accès aux "plaisirs du non calculatoire" dans leurs UV de maths.

Ah oui, ça me parait moins violent quand-même.

Mais pourquoi (je plaisante un peu) ne pas éliminer les coupures de ma preuve sans calcul par exemple). J'imagine que ça peut prendre un peu de temps.

Eliminer une coupure c'est remplacer l'élimination d'un lemme par "son exécution" (un peu comme si, dans un programme informatique, tu remplaçais les appels distants par des insertions de codes directement dans le corps principal).

A la différence de Stone W, ici c'est tout de même "très gentil" ce qu'il se passe. Par exemple je n'ai pas eu à "suer" pour trouver un polynôme non orthogonal à une fonction affine par morceaux, je le fais juste changer de signes au mêmes points qu'elle de façon que la fonction intégrée soit strictement positive. On n'a pas "cette chance" dans SW :-D

Bonjour à tous. Comment, dans le cadre des programmes visés par bisam (PC/PSI), passer de "la fonction nulle est la seule fonction orthogonale à toute fonction puissance $n$" à "toute fonction est limite (simple ? uniforme ?) d'une suite de polynômes" ? Merci !

[édité après la remarque de Christophe, mes notations étaient confuses, je ne parle pas d'une seule et même fonction $f$, merci]

Soit $E$ le complété de l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$. Soit $F$ l'adhérence du sous-espace des fonctions polynômes. Soit $f$ une fonction continue, soit $g$ le projeté orthogonal de la fonction $f$ sur $F$. Si $f-g$ est continue, alors, $f-g$ est orthogonale à toute fonction polynôme, donc $f-g=0$ et $f=g$, donc $f$ appartient à $F$.
En effet, la démonstration ne convient pas, car on ne sait pas si $f-g$ est continue.

@D93 : je n'avais pas vu que tu avais modifié, je te redis tout entièrement.

1/ Le fait que ce soit la norme $L^2$ est ESSENTIEL!!!!! (je ne pourrais pas me payer le luxe de te répondre avec un post littéraire de 4 lignes sans aucun calcul sinon)

2/ Il est TRIVIAL qu'une fonction continue orthogonale à toute fonction AFFINE PAR MORCEAUX est nulle (tu la produit-scalairise avec un petit pic là où tout est positif, tu obtiens un nombre strictement positif sinon.

3/ Il est PRESQUE TRIVIAL qu'une fonction affine par morceaux orthogonale à tout polynôme est nulle (tu prends un polynôme qui a le même signe que $f$ partout, ça te fait intégrer une fonction positive).

4/ Pour éviter le côté préhilbert-mais-pas-hilbert, tu remplaces $0$ par des epsilons. Tout se passe bien.

Je te laisse demander ce qu'il te manque.

Mais D93 : n'ai-je pourtant pas assez insisté que l'aspect $L^2$ est très important comme avantage dans cette histoire? Ou est-ce que tu l'as bien vu mais voulais REELLEMENT prouver Stone W avec? J'ai un doute.

Avec $L^2$, tu peux avoir des fonctions très éloignées qui sont $L^2$ très proches car les pics sont étroits. C'est réellement une "norme magique", au sens propre du type $E\iff non(E)$ qu'elle propose en dimension finie, puisqu'un produit scalaire est un isomorphisme entre $E$ et $E^*$ (qui joue le rôle de $non(E)$). Ne pas s'étonner du court-circuitage des difficultés avec elle du coup.