L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Factorielle
dans Algèbre
Bonjour
La formule suivante a-t-elle un nom ?
A+
La formule suivante a-t-elle un nom ?
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Réponses
ta formule n'a pas de nom mais correspond au développement d'un produit infini
lié à la fonction eulérienne Gamma de variable x réelle positive :
$\Gamma(1+x) = \frac{(1+1)^x(1+1/2)^x(1+1/3)^x............(1+1/n)^x........}{(1+x)(1+x/2)(1+x/3)..............(1+x/n)..........}$
si x = m, tu trouves au premier membre m! (factorielle de m)
et au second membre le développement de chaque binôme de Newton d'exposant m qui figure au numérateur
avec au dénominateur des binômes affines en m ce qui explique l'alternance de signe des expressions
le développement de ce produit infini est très lourd et ne présente guère d'intérêt scientifique
cordialement
$$m! = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k\cdot \binom{m}{k} \cdot (m+1-k)^m\qquad ?$$
$$
m! = \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} \binom{m}{k} (k+1)^m.
$$ Le nombre de surjection d'un ensemble à $n$ éléments dans un ensemble à $p$ éléments est donné par
$$
S_{n,p} = \sum_{k=0}^p (-1)^{p-k} \binom{p}{k} k^n.
$$ En utilisant l'égalité $\displaystyle{\binom{m}{k} = \binom{m+1}{k+1} - \binom{m}{k+1}}$, on trouve
$$
\sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} \binom{m}{k} (k+1)^m = S_{m,m+1} +S_{m,m} = 0+m!=m!
$$