Taylor et somme des puissances d'entiers

Bonjour

tu pars de la fonction génératrice $f_p(x) = \frac{x^{p+1}-1}{x-1} = 1 + x + x^2 + ...........+ x^p$
de paramètre p et de variable réelle x différente de 1

soient $S(n;p) = 1 + 2^p + 3^p +............+ n^p$ les sommes qui t'intéressent

tu dérives une première fois $f_p(x)$ et tu calcules le nombre dérivé pour x = 1 soit f'1)
et après avoir prémultiplié par x la fonction dérivée tu dérives une seconde fois et tu détermines f''(1)
tu continues jusqu'à la pième dérivée après avoir multiplié chaque fois par x la fonction dérivée,
tu termines donc par $f^{(p)}(1)$ qui dépend de p

tu obtiens : $S(n;p) = a(1,p)f'(1) + a(2;p)f''(1) + a(3;p)f'''(1) + ........ + a(k;p)f^{(k)}(1)+ ...........+ a(n;p)f^{(n)}(1)$

les coefficients a(k;p) sont les nombres de Stirling de première espèce (ligne p, colonne k)



Si tu souhaites factoriser tes sommes S(n;p), tu as as intérêt à utiliser les polynômes factoriels (décalés de 1)
pondérés par les mêmes a(k;p) qu'avec la fonction génératrice soit :

$S(n;p) = a(1;p)\frac{(n+1)n}{2} + a(2;p)\frac{(n +1)n(n - 1)}{3} + .......+a(k; p)\frac{(n+1)n(n-1).....(n-k+1)}{k+1}+.....+ a(n;p)\frac{(n+1)n(n-1)......(n - p + 1)}{p+1}$

par exemple pour p = 6 tu utilises la ligne 6 du triangle arithmétique de Stirling : 1 ; 31, 90, 65, 15 , 1

et tu factorises (partiellement), tu obtiens : $S(n;6) = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1)}{42}$

tu n'as pas utilisé de relation de récurrence entre les sommes S(n;p) et tu peux développer en monômes si tu le souhaites

cordialement