Corps intermédiaire

mcd
mcd
dans Algèbre
Bonjour,

Soit $K$ un extension monogène de $k$ alors l'extension $K/k$ n'a qu'un nombre fini de corps intermédiaires.

Je ne vois pas comment le montrer, comment on fait svp ?

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    C'est bizarre, j'avais souvenir d'une preuve simple mais je ne la retrouve plus.

    Bon déjà je me permets de préciser que l'extension doit être monogène algèbrique

    Avec ça, sous forme d'exercice : On appelle $k(x)/k$ notre extension.

    1) Réduire l'énoncé à "l'ensemble des corps intermédiaires minimaux est fini" (indication: en dimension finie....)

    2) Soit $L/k$ un corps intermédiaire minimal, et $\mu$ le polynôme minimal de $x$ sur $L$. Montrer que $L$ est engendré sur $k$ par les coefficients de $\mu$ (indication : relire les premiers mots de l'énoncé)

    3) Conclure (indication : division, division...)
  • side
    side
    supp
  • JLT
    JLT
    @side: revois la définition d'une extension galoisienne.
  • Poirot
    Poirot
    On peut cependant rectifier l'argument de side dans le cas où l'extension $K/k$ est séparable. On considère sa clôture galoisienne $L/k$, et celle-ci ne possède qu'un nombre fini de sous-extensions puisque son groupe de Galois ne possède qu'un nombre fini de sous-groupes, et c'est en particulier aussi le cas pour $K/k$.

    On obtient même ce faisant une majoration théorique du nombre d'extensions intermédiaires entre $k$ et $K$ car, en notant $G = \text{Gal}(L/k)$, et $H$ le sous-groupe de $G$ tel que $K = L^H$. Alors les corps intermédiaires entre $k$ et $K$ correspondent aux sous-groupes de $G$ contenant $H$.
  • mcd
    mcd
    Bonjour
    Je vais squeezer le côté minimal je n'ai pas compris la subtilité :)o.

    Soit $L/k$ une extension intermédiaire et $\mu$ le polynôme minimal de $x$ sur $L$. Notons $F/k$ l'extension engendrée par le coefficient de $\mu$. Notre but est de montrer que $F = L$.
    On en déduira qu'il n'existe qu'un nombre fini de corps intermédiaires. En effet tout corps intermédiaire $L$ est déterminé par $\mu_{x,L}$ qui divise $\mu_{x,k}$ et ce dernier n'a qu'un nombre fini de diviseurs. On a
    $$
    k \rightarrow F \rightarrow L \rightarrow k(x).

    $$ Bon maintenant faut travailler un peu. Qu'est-ce que je peux dire. Déjà $\mu$ est irréductible sur $F$ car il est irréductible sur $L$ donc
    $$
    [F(x):F] = d = [L(x):L],

    $$ avec $d$ le degré de $ \mu$
    Et après une piste ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    J'allais dire "j'ai mis 'minimal' pour une raison :-D" mais je me rends compte en lisant ton message que ce n'est pas la peine !
    Bravo, tu as résolu l'exo et enlevé une étape de ma preuve !

    ($F(x) = $ ? , $L(x) =$ ?)
  • Maxtimax
    Maxtimax
    PS : mais du coup je suis surpris, je ne m'attendais pas à ce que ce soit vrai pour un corps intermédiaire quelconque ! C'est certainement ça la preuve simple que j'avais vue passer à l'époque.
  • christophe c
    christophe c
    @Max, moi en tant qu'ignare en théorie des corps, je vois bien que Calli affirme que la fonction suivante (on a fixé $a$ et on est entre un petit corps $K$ et $K(a)$:

    $$L\mapsto PolyMiniUnitaireSurDe(L,a) $$

    est injective, mais je ne vois pa sdu tout pourquoi. Citation:
    Calli a écrit:
    En effet tout corps intermédiaire $L$ est déterminé par $\mu_{x,L}$ qui divise $\mu_{x,k}$ et ce dernier n'a qu'un nombre fini de diviseurs.

    Par contre, par artinianité et noethérianité (espace vectoriel dim finie), on peut supposer que $K$ est le plus grand possible et $K(a)$ le plus petit possible de façon à ce que le couple qu'ils forment soit contre-exemple à l'énoncé de départ.

    Dans ce cas l'intersection de deux corps intermédiaires différents est TOUJOURS $K$, via le raisonnement suivant: par hypothèse, il n'y a qu'un nombre fini de corps entre $K$ et $L$, or les $L\cap L'$ quand $L'$ parcourt l'infinité de corps intermédiaires, sont de tels que corps, il y a donc une des intersections qui vaut $K$, blabla.

    Du coup, oui les coefs des polymini évoqués différent car lis ne peuvent être dans deux corps intermédiaires différents (qui n'ont en commun que les éléments de $K$), par contre, comme tu vois, c'est toi qui me "sort de l'ombre" avec la remarque de minimalité, maximalité.

    Or tu as l'air de dire que ça n'est pas du tout utile????? :-S (Faut-li alors remplacer par de l'outillage en théorie des corps? Ou est-ce évident avec les bases?)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe: c'est facile avec les bases : comme mini_calli l'écrit, si $\mu$ est le minimal de $x$ sur $L$, et $F$ engendré par ses coefficients, alors $\mu$ est le minimal de $x$ sur $F$ (évident)

    En particulier, $[L(x): L] = \deg(\mu) = [F(x): F]$. Sauf que $F(x) = L(x) = k(x)$ ("le plus petit sous-corps de $k(x)$ contenant $L$ et $x$", bah il contient $L$ donc $k$, et il contient $x$ donc $k(x)$, pareil pour $F(x)$)

    Donc $[k(x): L] = [k(x): F]$. Bon bah il en découle qu'il y a pas beaucoup de place entre $L$ et $F$. On utilise la dimension finie ici.

    (rappel : pour une extension $E/F$, on note $[E:F]$ la dimension de $E$ en tant que $F$ -espace vectoriel, et on a, pour une tour d'extensions $E/F/L$, $[E:L] = [E:F][F:L]$)


    (mon idée de base était que si $L$ est minimale, bah $F$ ne peut pas être $k$ donc ça doit être $L$; mais on n'a pas besoin de la minimalité du coup)
  • christophe c
    christophe c
    Merci Max, j'ai compris. Je reprécise les points non évidents pour moi, qui sont maintenant compris. Le gros corps est $M$, le petit est $K$.

    On a $L$ et $F$, avec $F\subset L$ qui sont intermédiaires définis comme tu dis. Et tout repose sur ta dernière formule et le fait que :

    $$ dim_F(M) = dim_L(M)$

    qui entraine $L=F$ grâce à ta dernière formule multiplicative (qui je crois est assez facile à prouver, pour pas dire triviale).

    Tout est clair, et il me manque l'acquis que $dim_A(B) = $ degré du poylmini tel que blabla que je vais faire l'exercice d'établir lors de mes cafés et balades. (Oh, bin non même pas, avant de cliquer sur renvoyer, je vois très bien pourquoi, grr, avec les "=", y a toujours 2 trucs $\leq$ et $\geq$ qui se prouvent différemment, encourageantà la proscratination :-D , mais là ça va, ils me sont venus au cerveau en superposition quantiques flash lool)

    Grand merci!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe : l'acquis en question est relativement évident aussi : tu as un morphisme surjectif $L[X]\to L(x)$ qui envoie $X\mapsto x$. Son noyau est précisément $(\mu)$ (l'idéal engendré par $\mu$) par définition de $\mu$.

    Par conséquent, l'image ($L(x)$) est isomorphe à $L[X]/(\mu)$, qui est évidemment de dimension $\deg(\mu)$.
    Cet isomorphisme est super important pour pleeeeeiiiiin de trucs donc il est bon à connaître.

    (à noter que quand on n'est pas dans des corps et sur des trucs algébriques, il faut remplacer a priori $L(x)$ par $L[x]$: pour toute extension $A\subset B$ d'anneaux commutatifs, et $b\in B$ entier sur $A$, de polynôme minimal $\mu$, on a $A[X]/(\mu) \cong A[ b ]$, où $A[ b ]$ est le plus petit sous-anneau de $B$ contenant $A$ et $b$; la preuve est la même)
  • christophe c
    christophe c
    Merci beaucoup. Oui je m'en suis convaincu en te répondant tout à l'heure: dans un sens on aurait un polynôme de degré plus petit et dans l'autre une contradiction d'algèbre linéaire, donc (pour l'élément $z$ ajouté), $(1,z,z^2,..,z^{n-1})$ est bien libre et génératrice
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • mcd
    mcd
    Autre question déjà pourquoi la dimension d'un sous-espace propre est inférieure à la multiplicité de la racine ?
  • mcd
    mcd
    Mon idée qui n'a pas abouti.
    Ah j'ai une idée la multiplicité $m$ de la racine $\lambda$ est la dimension de $\ker( (f-\lambda I)^{m})$. Pourquoi ? Parce que on peut restreindre $f$ à ce sous-espace. Et à l'intérieur de ce sous-espace l'endomorphisme $f-\lambda I$ est nilpotent. La dimension de l'espace c'est le degré du polynôme caractéristique. Et là on sens qu'on y est presque. Euh du coup $X^{m}$ est annulateur c'est sûr. Après est-ce que c'est un multiple du polynôme caractéristique ? Le truc c'est que $X^{m-1}$ pourrait aussi être annulateur.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu écris $E = \bigoplus_\lambda \ker((f- \lambda id)^{m_\lambda})$, c'est une somme de sous-espaces stables par $f$, de sorte que le polynôme caractéristique de $f$ sur $E$ est le produit des polynômes caractéristiques sur chacun des $\ker((f-\lambda)^{m_\lambda})$. Sur ce dernier, le polynôme caractéristique de $f$ est de la forme $(X-\lambda)^{\dim}$, donc la dimension est précisément la multiplicité.

    Comme le sous-espace propre est un sous-espace de celui-ci...
  • mcd
    mcd
    Ah oui merci j'avais oublié :).
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