Relation d'équivalence d'un groupe quotient
Une question sur les groupe quotient :
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G.
Il semblerait que la seule définition du groupe quotient de G par H noté G/H soit donnée par la relation s'équivalence R suivante :
xRy ssi xy-1 appartient à H.
N'y a-t-il pas d'autres relations d'équivalence qui conviendraient à la définition des classes ?
Et sinon pourquoi cette relation est implicite ?
Pourquoi celle-ci et pas une autre ?
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G.
Il semblerait que la seule définition du groupe quotient de G par H noté G/H soit donnée par la relation s'équivalence R suivante :
xRy ssi xy-1 appartient à H.
N'y a-t-il pas d'autres relations d'équivalence qui conviendraient à la définition des classes ?
Et sinon pourquoi cette relation est implicite ?
Pourquoi celle-ci et pas une autre ?
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Réponses
Si tu définis correctement les choses (ce qui n'a pas été fait ci-dessus ; je t'invite donc à relire et vérifier avec ton cours), tu vas voir qu'il y a une autre relation d'équivalence permettant de définir $G/H$ lorsqu'il s'agit du groupe quotient de $G$ par $H$, à savoir : $x\mathscr{R} y \iff x^{-1}y \in H$. ;-)
(En fait, cette relation-là définit toujours l'ensemble $G/H$, même s'il manque l'hypothèse que tu as oubliée. Pour autant que je sache.)
" pourquoi cette relation est implicite ?" Il faut revenir à ce qu'on veut faire : définir un nouveau groupe $(G',*)$ sur les classes (des parties de $G$) de façon que :
* La classe de $e$, élément neutre de $(G,.)$ soit l'élément neutre de $(G',*)$ (on veut conserver cette neutralité)
* Si $x$ et $y$ sont des éléments de $G$, la classe $cl(x.y)$ soit $cl(x)*cl(y)$.
* Et la classe de $x^{-1}$ soit l'inverse de la classe de $x$.
Je te laisse traiter ces conditions pour voir ce qu'elles impliquent.
Cordialement.
$$
x\sim y \Leftrightarrow xH=yH
$$ i.e. translater $H$ par $x$ ou par $y$ c'est kifkif
-L'ensemble des $gH$ avec $g\in G$
-L'ensemble des $Hg$ avec $g\in G$
Si ces ensembles sont égaux alors on peut leur donner une structure de groupe, on dit alors que $H$ est normal ou distingué dans $G$, on note $G/H$ l'ensemble des $gH$ avec $g\in G$ ( qui est l'ensemble des $Hg$ avec $g\in G$), $G/H$ a alors une structure de groupe par
l'opération . définie par $g_1H$.$g_2H=g_1g_2H$. Si ces ensembles sont différents on parle alors de classes à droite et de classes à gauche et on convient de les noter différemment.
Pour AlainLyon : ce qui me gêne c'est le 'alors il y a deux classes'.
Je ne vois pas cette implication...
Peux-tu être plus précis sur ce alors ?
Je comprends bien qu'il y a deux relations d'équivalences, celle à gauche et celle à droite mais ce qui m'intrigue c'est pourquoi celles-ci ?
Gérard0 dit que l'on veut obtenir une structure de groupe sur les classes mais ce n'est pas toujours le cas puisque le groupe doit pour cela être distingué.
En réalité, si le sous-groupe considéré est distingué il n'y a qu'une seule partition du groupe induite par ces deux relations d'équivalence.
Cette partition est la seule partition de $G$ qu'on peut munir d'une loi de groupe compatible avec celle de $G$.
(tout est dans l'adjectif "compatible")
PS:
On a récemment parlé de tout ceci ici
Plus particulièrement:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2164890,2166508#msg-2166508
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2164890,2166550#msg-2166550
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2164890,2166688#msg-2166688
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2164890,2167412#msg-2167412
(cela m'évite de réécrire des explications qui pourraient être utiles ici, ou pas).
Ah ? Si $H$ est distingué dans $G$ et si je choisis une permutation $\sigma$ de $G$, je ne peux pas définir par transport une loi de groupe compatible avec celle de $G$ sur la partition $\sigma(G/H)$ de $G$ ?
On nous donne un ensemble G qui a une structure de groupe et un sous-ensemble H qui est un sous-groupe de G (non nécessairement normal/distingué).
On veut partitionner cet ensemble G.
(Mais on n'obtiendra pas à tous les coups un ensemble muni d'une structure de groupe).
Pour cela on utilise une relation d'équivalence pour regrouper les éléments de G équivalents entre eux.
Ce qui forme des classes.
Mais là on veut que la relation d'équivalence face 'intervenir' le sous-groupe H. C'est ça quotienter par H (ou c'est implicitement plus que de faire intervenir H ?)
Et c'est là que je ne vois pas la condition nécessaire que cette relation d'équivalence soit xy-1 ou x-1y appartient à H.
Est-ce plus clair ?
On ne veut pas n'importe quelle structure de groupe, on veut qu'elle soit compatible avec la loi de groupe de $G$
(tu peux me demander ce que l'adjectif compatible signifie ici)
Car, autrement, on peut munir n'importe quel ensemble de $n$ éléments d'une structure de groupe (commutatif).
Tu peux m'expliciter mieux la loi de groupe dont tu parles plus haut s'il te plait?
si tu prends n'importe quelle partition de $G$, elle est associée à une relation d'équivalence qui ne nécessitera pas $xy^{-1} \in H$.
Ce qu'on appelle "quotient par $H$" est un cas particulier, tiré du problème que je signalais. C'est tout ! Tu perds ton temps à chercher des pourquoi qui ne concernent que l'histoire des maths. C'est une définition.
Quand tu auras étudié d'autres structures, algébriques ou non, tu sauras que cette notion de quotient est générale, qu'elle a pour but d'obtenir des sous-structures (*) compatibles. ici, on veut obtenir, si possible, une sous-structure compatible, une "structure quotient".
Maintenant, tu peux aussi étudier à fond, toi-même, la question et voir si tu trouves quelque chose d'utile et de différent. Les maths ne sont pas figées.
Cordialement.
(*) le mot n'est pas le bon, mais je ne pouvais pas dire "structure quotient" puisque c'est ce que je veux définir !
Je crois avoir compris ta remarque.
Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ (groupe fini) alors les deux relations d'équivalence standard donnent la même partition: $C_1,....,C_n$
Maintenant on se donne n'importe quelle permutation $\sigma$ sur $G$.
$D_1=\sigma(C_1),....,D_n=\sigma(C_n)$ est aussi une partition de $G$ et on peut la munir de la loi de groupe:
$D_i\star D_j:=\sigma^{-1} (D_i).\sigma^{-1} (D_j)=C_i.C_j$
Cette loi est très certainement compatible avec la loi de $G$.
PS:
Ce qui fait, que la partition est bien unique mais si la loi de groupe sur cet ensemble de classes est très spécifique, c'est ce dernier point que j'ai négligé plus haut.
Si $C_1,C_2,...,C_n$ est la partition dérivée des deux relations d'équivalence par rapport à un sous-groupe $H$ de $G$ qui est distingué dans $G$ la loi de groupe sur cette partition est définie pour tout $1\leq i,j\leq n$ ,par $C_i.C_j:=c_i.c_j$ où $c_i$ est un élément de la classe $C_i$. (on suppose que $G$ est fini et d'ordre $n$)
En étant moins exigeant sur la compréhension de l'objet structure quotient j'aimerais quand même savoir si il est implicite que Ker(pi)=H avec pi la projection de G sur G/H ou alors est ce juste une coincidence de la définition?
En d'autre terme est ce une condition nécessaire que H soit l'élément neutre de G/H?
Merci
L'élément neutre $N$ est la classe de la partition qui vérifie pour toute classe $C$, $C.N=N.C=C$
Donc cela veut dire que si $c\in C$ et $n\in N$ on doit avoir en particulier $(cn)^{-1}c\in H$*
Or $(cn)^{-1}c=n^{-1}c^{-1}c=n^{-1}$ cela signifie que $n^{-1}$ est dans $H$ mais $H$ est un sous-groupe donc $n$ dans $H$ aussi.
* C'est une conséquence de $C.N=C$.
PS:
Il faudrait établir la réciproque, j'ai seulement montré que $N$ est inclus dans $H$ me semble-t-il.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je ne comprends pas : pour $G$ et $H$ finis l'image de $G/H$ par une permutation $\sigma$ de $G$ n'a pas de sens si $card(H)>1$, car une permutation de $G$ agit sur des ensembles de $card(G)$ éléments. $\sigma$ doit être une permutation de $G/H$ pour pouvoir y donner sens.
1) Pas besoin de supposer le groupe $G$ fini.
2) Ta loi $\star$ n'est pas interne : il faut appliquer $\sigma$.
3) Non, la partition n'est pas unique, sauf erreur.
J'explicite avec mes notations. Soient $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe distingué de $G$ et $\sigma$ un automorphisme de $G$. Notons $E = \sigma(G/H) = \{ \sigma(xH) \mid x\in G \} = \{ \sigma \bigl(\sigma^{-1}(x)H\bigr) \mid x\in G \}$ et $q\colon G\to E$, définie par (édité) $q(x) = \sigma \bigl(\sigma^{-1}(x)H\bigr) = \Bigl\{ \sigma \bigl(\sigma^{-1}(x)h\bigr) \mathrel{\big|} h\in H \Bigr\}$ pour tout $x$ dans $G$.
a) $E$ est une partition de $G$ qui, sauf erreur, diffère de $G/H$ en général, et $q$ une surjection de $G$ dans $E$.
b) Notons $\sim$ la relation binaire définie sur $G$ par $x \sim y \iff q(x) = q(y)$. Il s'agit d'une relation d'équivalence. Par définition, pour tout $(x,y)$ dans $G^2$, $x \sim y \iff \sigma \bigl(\sigma^{-1}(x)H\bigr) = \sigma \bigl(\sigma^{-1}(y)H\bigr) \iff \sigma^{-1}(x)H = \sigma^{-1}(y)H$. On peut noter que pour tout $x$ dans $G$, la classe de $\sigma(x)$ pour la relation $\sim$ est $q(\sigma(x)) = \sigma(xH)$.
c) Si $x, x'\!, y$ et $y'$ sont des éléments de $G$ tels que $x \sim x'$ et $y \sim y'$, alors $\sigma^{-1}(x)H = \sigma^{-1}(x')H$ et $\sigma^{-1}(y)H = \sigma^{-1}(y')H$ donc $\sigma^{-1}(x)H \, \sigma^{-1}(y)H = \sigma^{-1}(x')H \, \sigma^{-1}(y')H$, c'est-à-dire (car la surjection canonique de $G$ dans $G/H$ est un morphisme) $\sigma^{-1}(x)\sigma^{-1}(y) \, H = \sigma^{-1}(x')\sigma^{-1}(y') \, H$. Comme $\sigma^{-1}$ est un endomorphisme de $G$, on en déduit que $\sigma^{-1}(xy) \, H = \sigma^{-1}(x'y') \, H$, d'où $xy \sim x'y'$. La relation d'équivalence $\sim$ est donc compatible avec la loi de $G$.
Comme je viens de l'expliquer,
\[ \sigma(G/H) = \{ \sigma(xH) \mid x\in G \} = \{ \, \{ \sigma(xh) \mid h\in H \} \mid x \in G \}. \]
Cela fait parfaitement sens avec « $\sigma$ permutation de $G$ » et à nouveau, il n'y a nullement besoin d'une hypothèse de finitude.
Oui, j'ai oublié de prendre l'image par $\sigma$.
Je reprends:
Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ (groupe fini) alors les deux relations d'équivalence standard donnent la même partition: $C_1,....,C_n$
Maintenant on se donne n'importe quelle permutation $\sigma$ sur $G$.
$D_1=\sigma(C_1),....,D_n=\sigma(C_n)$ est aussi une partition de $G$ et on peut la munir de la loi de groupe:
$D_i\star D_j:=\sigma\left(\sigma^{-1} (D_i).\sigma^{-1} (D_j)\right)=\sigma\left(C_i.C_j\right)$
J'espère que ce qui suit t'éclairera un peu. C'est dans le Cours de mathématiques spéciales, tome 1 (algèbre) de Ramis, Deschamps, et Odoux (RDO), pp. 66-67.
Notons que dans la preuve de la première assertion du premier théorème, $H$ est défini comme la classe de l'élément neutre de $G$ pour la relation d'équivalence considérée, et l'on montre que c'est un sous-groupe de $G$.
Tu as eu d'excellentes réponses face à une question légitime et récurrente. Brian vient de te fournir le Saint Graal qui va lever le voile qui se trouve peut-être encore devant tes yeux. Il y a fort longtemps, je sais que ces deux théorèmes m'avaient bien aidé. Il faut impérativement scruter les démonstrations, c'est primordial.
Bien cordialement,
Thierry
Celle de Brian répond tout à fait à ma question.
Super...
On a
$$
{B+I \over I} \cong {B \over B \cap I}
$$ On a ${B+I \over I} = \{ s + I, s \in B+I \}$ du coup j'ai envie d'écrire ${B+I \over I} = {B \over I}$ car $s$ s'écrit $b + i$ et $I$ est un groupe additif. Mais ça me semble évident faux.
Je regarde des exemples
$$
{Z + nZ \over nZ } = { pgcd(1,n)Z \over nZ } = {Z \over nZ}
$$ bon c'est un mauvais exemple regardons
$$
{2Z + 4Z \over 4Z } = { pgcd(2,4)Z \over 4Z } = {2Z \over 4Z}
$$ Ah c'est encore un mauvais exemple. Cette fois c'est la bonne
$$
{8Z + 4Z \over 4Z } = { pgcd(8,4)Z \over 4Z } = {4Z \over 4Z}
$$ ah !
Du coup je pense que je fais une erreur mais je ne la vois pas tout de suite (petite nuit). Voyez-vous où je pèche ?
Sinon, je suis rouillé en théorie des anneaux mais il me semble que ta relation du début est presque vraie à un détail près : I n'est pas forcément un idéal de B donc écrire le quotient B/I n'a pas de sens. Par contre en prenant B + I ça marche et c'est de là que vient le complicage de vie apparent.
Pareil, on peut écrire B/(B inter I) puisqu'on quotiente bien par un idéal de B.
Pour prendre un exemple pertinent par exemple on pourrait considérer 5Z et 7Z. Le quotient n'a pas de sens si on se tient aux définitions (il faut un sous-groupe pour quotienter).
Mais on voit bien que donner un sens intuitif à l'objet "5Z/7Z" revient à considérer les multiples de 5 modulo ceux de 7 et donc de 35... et là on voit que l'objet "5Z/35Z" dit la même chose mais cette fois, il est licite et en accord avec les définitions. L'autre n'existe pas.
Si on avait voulu faire autrement on aurait pu se dire que, de manière plus bourrine, pour avoir les multiples de 5 modulo ceux de 7, il suffit d'écrire qu'on cherche les 5k = 7k' et donc on se restreint aux entiers qui sont dans 5Z + 7Z d'office avant de quotienter et...tadaa encore une fois on a une chose licite point de vue des définitions.
Si $A$ est un groupe et $B$ un sous-groupe de $A$, on note dans ce qui suit $\pi^A_B:A \to A/B$ l'application quotient.
Soit $G$ un groupe et $H,N$ deux sous-groupes de $G$ avec $N$ distingué dans $G$ (NB: lorsque $G$ est commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués et donc la vérification de cette propriété est superflue; cependant cela ne raccourcit pas les preuves des résultats abordés ci-dessous qui restent les mêmes).
1°) $N\cap H$ est distingué dans $H$.
2°) l'ensemble $HN = \{pq\mid p \in H,q \in N\}$ est un sous-groupe de $G$ contenant $H$ et $N$.
3°) $N$ est distingué dans $HN$ (comme il l'est dans tous les sous-groupes de $G$ contenant $N$).
4°) $H$ est contenu dans $HN$. De plus soient $x,y\in H$ tels que $xy^{-1} \in N \cap H$. Alors en particulier, $x,y\in HN$ et $xy^{-1}\in N$ et donc $\pi^{HN}_N (x)=\pi^{NH}_N (y)$. Donc il existe un unique morphisme de groupes $\varphi: H/N \cap H \to HN/N$ tel que $\varphi \circ \pi^H_{N\cap H} =\pi^{HN}_N$.
5°) Soient $\mathbf a, \mathbf b\in H/N \cap H$ tels que $\varphi(\mathbf a)=\varphi(\mathbf b)$. Soient $a,b\in H$ tels que $\mathbf a = \pi^{HN}_N (a)$ et $\mathbf b = \pi^{HN}_N (b)$. Alors $\pi^{HN}_N (a) = \varphi(\mathbf a)=\varphi(\mathbf b) = \pi^{HN}_N (b)$ grâce à 4°). Donc $ab^{-1} \in N$. Comme $a,b\in H$, $ab^{-1}\in H$. Donc $ab^{-1}\in N \cap H$ et donc $\mathbf a=\mathbf b$. Donc $\varphi$ est injectif.
6°) Soit $\mathbf c\in HN/N$. Soit $c\in HN$ tel que $\pi^{HN}_N (c) = \mathbf c$. Alors il existe $x\in H$ et $y\in N$ tel que $c=xy$. Mais du coup, $cx^{-1}\in N$ et donc $\pi^{HN}_N (c)=\pi^{NH}_N(x) = \varphi \circ \pi^H_{N \cap H} (x)$ d'où la surjectivité de $\varphi$.
En résumé, les points 5°) et 6°) entraînent que $\varphi$ est un isomorphisme entre $H/ N\cap H$ et $HN/N$.
7°) dans le cas particulier où $G$ est le groupe additif d'un anneau et $H,N$ sont des idéaux, $\varphi$ est un morphisme (donc à nouveau un isomorphisme car bijectif) d'anneaux.
@ Foys : Il vaut mieux que j'essaye de le faire moi. Par exemple pour les anneaux.
Après avoir regarder la tête de différents morphismes mon choix se porte sur celui ci
$$
b + B\cap I \in {B \over B \cap I} \rightarrow b + B\cap I + I \in {B+I \over I}
$$
Il est bien définie mais il se peut qu'il dépende du représentant de $B\cap I$ sauf que si $s = s' [B \cap I] $ alors $ b+s = (b+s') [ I] $ donc la définition ne dépend pas du représentant.
Après on voir que c'est un morphisme par définition d'un anneau quotient.
Il est injectif par construction.
Enfin la surjectivité on prend $b + I \in {B+I \over I}$ alors c'est l'image de $b+ B\cap I $ car $b+ B\cap I = b + I [ I]$ .
Après pour les groupes, c'est des produits si l'on veut.
$$
{H \over H\cap N} \rightarrow {HN \over N}
$$
Le sous groupe de $H$, $H\cap N$ est distingué dans $H$ car $N$ est stable par les automorphisme intérieur de $G$ en particulier ceux de $H$ tout comme alors $H \cap N$.
De même $N$ est dinstingué dans $HN$.
Après le morphisme, j'essaye
$$
h H\cap N \rightarrow h H\cap N [N]
$$
et j'ai l'impression que c'est pareil en faisant attention à écrire des produits cette fois.