Recherche de matrices

tatof
tatof
dans Algèbre
Bonjour

Soient $i \in \{1,\ldots,N \}$, $N \in \mathbb{N}$ et $n \in \mathbb{N}$.
Je cherche $U_i \in \mathbb{C}^{n \times (n-N+1)},\ V_i \in \mathbb{C}^{n \times (N-1)}$ telles que :
1) $V_i^HU_i=0$
2) $V_iV_i^H=Id$
3) $U_i^HU_i=Id$

Connaissez-vous des matrices qui vérifient les 3 conditions?
Merci.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Que désignes-tu par $M^H$ ? La transposée de la conjuguée ?

    Si oui, pense en termes du produit scalaire hermitien sur $\mathbb C^n$. Les colonnes de ta matrice $V$, ce sont $N-1$ vecteurs et celles de ta matrice $V$, $n-N+1$ vecteurs.
    Par ailleurs, je ne comprends pas le rôle de ton indice $i$. À quoi sert-il ?
  • tatof
    tatof
    La notation $M^H$ désigne la transposée conjuguée. J'ai mis un indice $i$ pour signaler que j'aimerais avoir plusieurs matrices vérifiant les conditions. Pour cela une méthode de construction de ces matrices serait adaptée.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La piste que je te suggère te fournit autant de couples $(U,V)$ que tu veux.
    Je répète : raisonne sur les colonnes des matrices, en traduisant les égalités matricielles en termes de produit scalaire hermitien.
  • tatof
    tatof
    J'ai fais une faute de frappe dans la condition 2): c'est $V_iV_i^H=Id$

    Si je prend, $n=3$ et $N=2$ et que je note par $v_i$ les éléments de la matrice $V$. J'obtiens pour la condition 2) une absurdité puisque $|v_i|^2=1$ et $v_i^*v_j=0$ pour $i \neq j$.

    Du coup impossible de trouver des couples $(U_l,V_l)$
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