Éléments propres et isomorphisme

OShine · February 2021

Bonsoir,

Soit $\varphi$ un isomorphisme de $E$ dans $F$ et $u$ un endomorphisme de $E$.

Déterminer les éléments propres de $\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}$ en fonction de ceux de $u$.

Je ne comprends pas le passage encadré en rouge. 117718

bisam · February 2021

Il n'y a rien à comprendre : c'est la traduction de ce qui est écrit au-dessus.

OShine · February 2021

Je ne vois pas comment on passe de ce qui est au-dessus à $u$ et $\phi \circ u \circ \phi^{-1}$ ont les mêmes valeurs propres.

Et à quoi ça sert de préciser que $\phi$ est un isomorphisme ?

Je ne comprends pas non plus la relation finale.

Poirot · February 2021

Si $\phi$ n'était pas un isomorphisme ça ferait drôle d'écrire le symbole $\phi^{-1}$ non ?

Ouvre les yeux, l'égalité au-dessus de ton encadré parle de quelles valeurs propres ?

OShine · February 2021

Ok pour $\varphi^{-1}$

Je début dans la réduction des endomorphismes donc j'ai un peu de mal à manipuler la notion de sous-espace propre.

Elle parle de la valeur propre $\lambda$ mais je ne comprends pas le lien entre la dernière équivalence et l'encadré en rouge.
Pour moi la dernière équivalence est très théorique et je ne comprends pas à quoi elle sert.

Poirot · February 2021

Comme toujours, reviens aux définitions... Ça veut dire quoi que $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme $u$ ? Réponse en termes de l'espace $E_{\lambda}(u)$ attendue.

OShine · February 2021

$\lambda$ est valeur propre de $u$ si $E_{\lambda} (u) \ne \{0 \}$

$\lambda$ est valeur propre de $\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}$ si $E_{\lambda} (\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}) \ne \{0 \}$

Poirot · February 2021

Bon eh bien conclus maintenant !

OShine · February 2021

Soit $x \ne 0$ car un vecteur propre est non nul par définition.

On a $x \in E_{\lambda}(u)$ si et seulement si $\varphi(x) \in E_{\lambda}(\varphi \circ u \circ \varphi^{-1})$

Comme $\varphi$ est un isomorphisme $x \ne 0 \implies \varphi(x) \ne 0$.

Donc $\lambda$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $\lambda$ est valeur propre de $\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}$

Donc $u$ et $\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}$ ont les mêmes valeurs propres car $E_{\lambda}(u)$ contient $x \ne 0$ et $ E_{\lambda}(\varphi \circ u \circ \varphi^{-1})$ contient $\varphi(x) \ne 0$.

J'ai du mal à comprendre la dernière égalité $E_{\lambda}(\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}) = \varphi(E_{\lambda}(u))$

julian · February 2021

Tout isomorphisme est inversible c'est clair non ???

Poirot · February 2021

Mais sors-toi les doigts !!! C'est détaillé au début de l'exercice, il suffit d'écrire les définitions comme d'habitude !

bisam · February 2021

Je pense que l'on pourra ouvrir le champagne quand Oshine aura compris qu'il est plus important de savoir appliquer une définition que de comprendre une correction !

OShine · February 2021

Bisam ok je vais faire un effort sur les définitions.

Je sais que :

$E_{\lambda} (u) = \{x \in E \ | \ u(x)= \lambda x \}$ mais c'est le $\varphi(E_{\lambda} (u) ) $ où j'ai des doutes...

$\varphi(\{x \in E \ | \ u(x)= \lambda x \})= \{ \varphi(x) \ | \ u(x) = \lambda x \} $ ?

On a aussi $E_{\lambda} (\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}) = \{ y \in E \ | \ \varphi \circ u \circ \varphi^{-1}(y)= \lambda y \}$

christophe c · February 2021

Et c'est lui qui devra payer la bouteille :-D

OShine · February 2021

Je bloque sur cette démonstration qui dit d'utiliser l'exercice 8 (celui du fil). Je ne vois pas le rapport. 117818

bisam · February 2021

Nous sommes ravis de savoir que tu bloques... mais on ne peut pas t'aider si tu ne dis pas quel est ton problème.
Tout est dit dans l'extrait que tu as donné : il n'y a aucune ambiguité, il faut juste appliquer les définitions (encore).

Peut-être devrais-tu aussi revoir les méthodes usuelles de démonstration : utilisation des quantificateurs, implication, équivalence par double implication, inclusion d'ensembles, égalité d'ensembles par double inclusion, etc.

OShine · February 2021

D'accord. Je pense qu'ici on doit raisonner par équivalence.

Je veux d'abord montrer que $sp(A)=sp(u)$.

$sp(u)= \{ \lambda \in \K \ | \ \exists x \in E \backslash \{0\} \ u(x)=\lambda x \}$

$sp(A)= \{ \lambda \in \K \ | \ \exists X \in M_{n1}(\K) \backslash \{0\} \ AX=\lambda X \}$

Je ne comprends pas comment utiliser l'indication du livre.

Pour la seconde :

$x \in E_{\lambda} (u) \Leftrightarrow u(x)= \lambda x$

$X \in E_{\lambda} (A) \Leftrightarrow AX= \lambda X$

Mais je ne vois pas comment démontrer ces résultats.

NoName · February 2021

Qu'as tu essayé de faire ici?

christophe c · February 2021

JE te l'avais déjà dit (et en fait prévu et ça devient aveuglant) : tu es obligé maintenant de revenir sur ta (non)maitrise des quantificateurs. Tu n'es pas le seul "étudiant", mais tu sembles ressentir une allergie assez inhabituelle vis à vis d'eux et tu ne fais que poster des évidences "aux quantificateurs près".

OShine · February 2021

Je ne vois pas où est le problème des quantificateurs ici.

Je n'arrive pas à démontrer la proposition 13. Voici ce que j'ai essayé. Soit $\lambda \in sp(u)$.

$x \in E_{\lambda} (u) \Leftrightarrow \varphi(x) \in E_{\lambda} (\varphi \circ u \circ \varphi ^{-1}) \Leftrightarrow X \in E_{\lambda} (\varphi \circ u \circ \varphi ^{-1})$ je bloque ici.

Pour $sp(u)=sp(A)$ je n'ai pas réussi.

Pour le corollaire 14, d'après la proposition 8, si deux matrices sont sembles $A$ et $B$ alors il existe $P \in GL_n(\K)$ tel que $B=P^{-1} A P$

Notons $u$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ et $\varphi$ celui à $P$. On sait que $u$ et $\varphi \circ u \circ \varphi ^{-1}$ ont les mêmes valeurs propres. Donc $P^{-1} A P$ et $A$ ont les mêmes valeurs propres donc $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs propres.
Toujours d'après l'exercice 8, les sous-espaces propres de $P^{-1} A P$ et de $A$ ont la même dimension. Donc ls sous-espaces de $A$ et $B$ ont la même dimension.

bisam · February 2021

Tu ne vois pas le problème de quantificateurs ?
Tu n'as quantifié ni $x$, ni $X$, déjà.
Ensuite, tu n'as pas fait l'once d'un raisonnement pour montrer que $sp(u)=sp(A)$.

Je te l'ai dit : procède par double inclusion, applique les définitions, avec les quantificateurs... et conclus.
Il n'y a rien d'autre à faire (en particulier, ça ne passe ni par "je regarde dans un livre" ni par "je demande de l'aide sur un forum").

Si vraiment tu dois aller voir quelque part, c'est dans le cours de sup qui traite des méthodes de démonstrations (que je t'avais déjà passé, mais que je joins à nouveau à ce message).

christophe c · February 2021

@OS: d'une manière générale, tu dois te créer de très bizarres circuits neuronaux si sans maitriser la quantification tu arrives à "comprendre" ce que tu racontes dans ce fil et dans les autres.

OShine · February 2021

Ok merci. Je veux montrer que $sp(u) \subset sp(A)$.

Je dois donc montrer que $\boxed{\lambda \in sp(u) \implies \lambda \in sp(A)}$.

Soit $\lambda \in sp(u)$. Alors il existe $x \in E$ non nul tel que $u(x)=\lambda x$

Mais à cette étape je n'arrive pas à avancer.

nahar · February 2021

Bonjour,
Eh ben oui.
On se tue tous à conseiller à Oshine de se reposer un peu puis de recommencer depuis le début :
- Travailler la LOGIQUE.
- Etoffer ses connaissances mathématiques : exemples et contre-exemples, exercices classiques ...
Réponse type:
@x: j'ai déjà travaillé le chapitre logique ...
@y: je sais ce qu'est une...
Et puis on passe aux "choses sérieuses":
@z: si on prend $x=\lambda ^{\frac32}...$, dans mon livre ... Et là je bloque ...
Sérieusement, j'aimerais avoir ta persévérance et ton enthousiasme et voudrais que tout le monde t'aide.
Mais tu t'y prends vraiment mal.
Amicalement.

OShine · February 2021

Je connais les règles de logique vitales.

Et sinon j'ai relu le cours de Bisam ça ne m'a pas aidé à trouver la solution.

SERGE_S · February 2021

@ OShine : déjà tu veut démontrer que quelque soit $\lambda$, si $\lambda$ appartient à spec(u) alors il appartient à spec (A). Une première quantification sur $\lambda$ est passée à la trappe dans ton approche. Evidemment la quantification sur $\lambda$ est encore là quand tu démontres l'inclusion inverse ie spec (A) inclus dans spec (u).

Ensuite quelle est la relation entre l'endomorphisme u et la matrice A ? Qu'est-ce que tu peux dire de l'ensemble des endomorphismes d'un K-espace vectoriel E de dimension finie n et de l'espace des matrices carrées à coefficients dans K d'ordre n ?

Rescassol · February 2021

Bonjour,

Oshine, as tu fait l'exo de la fin du paragraphe 2.3 page 5 du cours de Bisam ?
Si oui, pourrais tu nous donner ta solution ?

Cordialement,

Rescassol

OShine · February 2021

Serge S.

Je quantifie quand j'écris "Soit $\lambda \in sp(u)$".

Pour montrer $\forall \lambda \in sp(u)"$ on écrit "Soit $\lambda \in sp(u)$". Dans tous les corrigés de concours que j'étudie, ils adoptent cette rédaction.

On a $A=Mat_B (u)$
L'application $\phi : \mathcal L(E) \longrightarrow M_n(\K)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. C'est aussi un isomorphisme d'algèbres.

Mais je ne vois pas comme l'utiliser en plus le livre donne une autre application qui va de $E$ dans $M_n(\K)$.

Rescassol
L'erreur est qu'il a montré que si l'équation admettait une solution alors la solution serait $1$. Mais il faut vérifier que $1$ est solution.

Thierry Poma · February 2021

@OS : bonsoir. Tu écris

Je quantifie quand j'écris "Soit $\lambda \in sp(u)$"

Où as-tu lu une telle affirmation ? N'y aurait-il pas quelque-chose de plus subtile qui se cache derrière des phrases du style "Soit $x$ (...) tel que $P$," voire "Soit $x$ (...) arbitrairement choisi tel que $P$" ?

OShine · February 2021

J'ai lu ça dans des livres ou sur internet.

Dans les démonstrations on ne voit pas des $\forall x $ à chaque ligne.

Sinon c'est $\forall \lambda \in sp(u) \ \exists x \in E \backslash \{0 \} \ u(x) = \lambda x$

Je ne vois pas comment utiliser l'application $\varphi$ donnée dans le livre.

Thierry Poma · February 2021

@OS :

J'ai lu ça dans des livres ou sur internet.

Es-tu capable de me fournir un lien [internet] vers un document, s'il te plait ? Ou peut-être le titre d'un des ouvrages que tu as lu ?

OShine · February 2021

Dans mon livre de MPSI dans le chapitre 0, j'ai étudié ça quand j'ai commencé à préparer le Capes il y a 2 ans. 117900

michael · February 2021

OShine, tu as écrit :

OShine a écrit:

Je dois donc montrer que $\boxed{\lambda \in sp(u) \implies \lambda \in sp(A)}$.

Tu n'as pas quantifié ce que tu écris. On ne sait pas ce que tu veux montrer.
Après, tu écris : "soit $\lambda \in sp(u)$", mais ça ne quantifie rien du tout.
Tu confonds l'énoncé d'une propriété avec $\forall$ (je le dis grossièrement) et la façon dont on rédige le début de la démonstration d'une telle propriété.