Endomorphisme nilpotent en dimension 1
Réponses
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Mêmes consignes que d’habitude :
Que signifie chaque mot de ce texte ? -
Et si on le laissait sur ce coup là ?
J’entends par bienveillance justement ! -
J'y ai réfléchi pendant au moins 10 min mais je n'ai pas trouvé.
$u$ est nilpotent si il existe $k \in \N$ tel que $u^k=0$
Je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse $\dim(E)=1$ -
C'est quoi un endomorphisme en dimension 1 monsieur Oshine ?
Vite avant le pavé pédagogique de cc hop hop hop ! -
Hop, hop, oust !
On se fiche du temps qu’on met à comprendre quelque chose. -
Je ne sais pas ce que c'est qu'un endomorphisme en dimension $1$ justement.
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Bon beh, pavé de punition à venir.
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Je n'ai jamais étudié ça je ne peux pas deviner :-S
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Comment tu peux sérieusement écrire un truc pareil ^^Je ne sais pas ce que c'est qu'un endomorphisme en dimension 1 justement.
Un endomorphisme tu sais ce que c'est? La dimension d'un espace? Le nombre 1?
Bon, ben voila.
Tu sais ce que c'est. -
Je quitte ce fil ! ;-)
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Je suggérerais de regarder ce qu'il se passe matriciellement, $u$ est représenté par une matrice de quelle taille ? c'est quoi la matrice de $u^n$ pour $n\geqslant 1$ ?
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Bonsoir,
Soit $e$ un vecteur non nul de $E$. Puisque $E$ est de dimension $1$, la famille $(e)$ est une $\Bbb{K}$-base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est $(a_u)$, pour un certain $a_u\in\Bbb{K}$ (jusqu'ici, il n'y a a priori aucune raison que l'endomorphisme $u\in\mathcal{L}_{\Bbb{K}}(E)$ soit identiquement nul sur $E$). Finalement, puisque $u$ est nilpotent (...)
Je te laisse finir !
Thierry
PS : OS, sais-tu que la Mathématique ne se résume (fort heureusement) pas à l'algèbre linéaire ? J'en ai un peu mon gonfle de te voir revenir sur des concepts qui sont supposés connus de ta part depuis longtemps. Peut-être serait-il grand temps de te focaliser avant tout sur le cours, plutôt que sur des exos corrigés ou pas. Mais, tu t'en fiches.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
J'étudie le cours sur la réduction des endomorphismes, et je fais des exercices d'application directe du cours. Je n'ai pas encore étudié ce chapitre même s'il reprend beaucoup de connaissances sur l'algèbre linéaire.
NoName
Je voulais dire que je ne sais pas les expliciter. Je sais ce qu'est qu'un endomorphisme et la dimension d'un espace vectoriel.
Michael
Les fonctions $x \mapsto ax+b$ avec $(a,b) \in \R^2$. Elles sont linéaires et à valeurs dans $\R$.
Tuvasbien et Thierry
Une matrice de taille $1 \times 1$. On a $Mat_B (u)=(a)$. Notons $n$ l'indice de nilpotence.
Donc $Mat_B(u^n)=Mat_B (u) ^n = (a ^n)=(0)$
Donc $a^n=0$ on en déduit $a=0$. Donc $Mat_B (u)=0$
Ainsi $u(e)=0$.
Soit $x \in E$. Comme $(e)$ est une base de $E$, il existe $\lambda \in \K$ tel que $x = \lambda e$
Donc $ u(x)=u( \lambda e)= \lambda u(e)= 0$
On a montré que $\boxed{u=0}$ -
Mon vieux... Pour l'agreg c'c'est pas gagné....
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Mèche vendue, dommage.
Mais non Alexique !!!!
Il faut demander des preuves ! C’est tout. -
Mais t'as pas besoin d'avoir d'expérience la dessus hein. Y a pas besoin d'avoir manipulé des endomorphismes de dimension 1 pour savoir ce que c'est. La définition suffit. Y a pas de trucs magique à retenir dessus.Je voulais dire que je ne sais pas les expliciter. Je sais ce qu'est qu'un endomorphisme et la dimension d'un espace vectoriel.
En général, y a PLEINS de choses à essayer sur un problème. Mais tu n'essaies rien, jamais.
Y a au moins 10 méthodes différentes pour arriver au résultat ici. N'importe quoi aurait marché. Mais tu n'essaies même pas un truc, un micro truc. Tu écris les définitions.
En fait on s'en fout d'écrire les définitions, ca n'est pas une "idée", ca n'est pas un attendu.
Toutes les idées ne marcheront pas forcement, mais si tu n'essaies jamais rien ben tu fais juste pas des maths en fait. Tu apprends par cœur des définitions, c'est tout ce que tu fais. C'est quand même pas très amusant, en plus d'être absolument inutile pour te faire progresser.
Que dirais-tu d'un élève qui dit, "oui je connais l'addition, mais par contre je n'ai pas assez manipulé le nombre 17 pour calculer 17+22". C'est exactement ce que tu fais. -
La réponse est incluse dans le programme de maths de seconde.
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On est en droit de se demander si la conclusion « $u=0$ » est bien comprise.
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C'est quand même cocasse d'être suffisamment confiant pour décrire les endomorphismes de $\mathbb R$ (de manière erronée en plus) et de dire en parallèle "je ne sais pas ce que sont les endomorphismes d'un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension $1$".
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OS,
En quelques jours, tu as ouvert les sujets :
- éléments propres et isomorphisme,
- sous-algèbre des matrices symétriques,
- sous-espaces stables,
- algèbre intègre et isomorphisme,
- sous-espace vectoriel engendré,
- endomorphisme stabilisant un sous-espace,
- endomorphisme et hyperplan...
pour finalement échouer sur la définition d’un endomorphisme dans
- endomorphisme nilpotent en dimension 1 !
Tu as trop de casseroles sur le feu !
... -
Le programme du lycée et les méthodes de base du raisonnement en premier lieu !
-
Chapeau bas sur ta capacité, OS, à faire parler beaucoup d'intervenants. Un jour certains vont se dire "c'est pas possible, il a fait un pari avec des potes?" :-D
Le soupçon commence à avoir une certaine vraisemblance, je trouve, vue les questions.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
OShine a écrit:Les fonctions $x \mapsto ax+b$ avec $(a,b) \in
\R^2$. Elles sont linéaires et à valeurs dans
$\R$.
Petit quiz cher OShine :
Commence par le début : démontre explicitement que les applications $x \mapsto ax+b$ de $R$ dans $R$ sont linéaires quelque soient les reels $a$ et $b$.
Les autres intervenants sont priés de se taire. B-)- -
Ax+b linéaire???!!! Première nouvelle....
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Mon exemple est faux en effet. J'ai été trop vite j'aurais dû écrire la linéarité.
Ce sont les applications qui a x associe ax qui sont linéaires, avec a un réel. -
Ça reste à prouver encore...
-
Posons $\forall x \in \R \ f(x)= ax$ avec $a \in \R$.
Il est clair que $f$ est à valeurs dans $\R$.
Soient $(\alpha,\beta) \in \R^2$. Soit $x,y \in \R$.
$f(\alpha x+ \beta)=a (\alpha x+ \beta y)=\alpha a x+ \beta a y = a f(x)+ bf(y)$
$f$ est linéaire et à valeurs dans $\R$, c'est un endomorphisme du $\R$ espace vectoriel $\R$. -
Tu as prouvé que ces applications sont linéaires, on te demande de montrer qu'une application linéaire est forcément de cette forme...
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Es tu capable de donner d'autres preuves que la version que tu as donné plus haut?
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Mouais, mouais, « il est clair que »...
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Ca ressemble de plus en plus à la caméra cachée. Il n'est pas vraisemblable qu'OShine ait réussi "à peu près" certains exos bien plus fournis et ne puisse écrire que des délires de gamin de cinquième écrivant des trucs au hasard ici. Ou alors, il a des flashs de génie.
Par ailleurs, je ne pense pas un instant qu'il faille lui proposer d'étudier le cas très particulier de $\R$ comme ev de dim$1$.
Il y a des tas d'ev de dim1 sur $\R$, et le démon lui en impose un $E$ qu'il ne choisit pas. Et le nom est $u$, il a un endomorphisme $u$, nilpotent sur $E$.
Je propose qu'il s'en sorte seul, pour nous prouver qu'il n'a pas passé un contrat avec TPMP pour tester le forum LMPC. On ne sait jamais... :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon sang, arrêtez de lui répondre !
Laissez d'autres idiots se croire forts parce qu'ils savent répondre aux questions idiotes d'un idiot. Vous n'avez pas compris que ce qu'il veut c'est que d'autres pensent à sa place ? -
CC a écrit:Ca ressemble de plus en plus à la caméra cachée. Il n'est pas vraisemblable qu'OShine ait réussi "à peu près" certains exos bien plus fournis
Tu es nouveau sur le forum et tu fais mine de découvrir qu'OS recopie entièrement ses corrigés en faisant croire que ça vient de lui ? Sauf quand vraiment il ne comprend rien à un passage (il pense comprendre le reste mais sa prose sur ce forum ne plaide pas en sa faveur) et qu'il demande de l'aide. -
@Chalk : non, non**, :-D , je me base sur sa résolution de mes exos de cet été qu'il est parvenu à pas mal "percer". Et, sauf erreur, j'ai une espèce de côté "chieur de naissance" qui fait qu'on trouve mes exos absolument nulle part.
Par contre, je ne peux évidemment pas exclure qu'il se soit fait aider. Mais ça aura alors cassé toute sa démarche et l'aide que j'ai voulu alors lui apporter.
** j'ai un côté artisan, même si j'achète ma bouffe au supermarché :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oui Poirot. Montrons que si $u$ est une application de $\R$ dans $\R$ alors il existe $\lambda \in \R$ tel que $\forall x \in \R \ u(x)= \lambda x$.
Réciproquement si $u \in \mathcal L(\R)$ alors $u(x)=u(x \times 1)= x u(1)=\lambda x$ avec $\lambda = u(1) \in \R$
NoName
Soit $p$ l'indice de nilpotence. Montrons que la famille $(x,u(x), \cdots ,u^{p-1}(x))$ est libre. (Je me souviens avoir vu cette question dans Mines MP 2020)
Soient $\lambda_0, \cdots , \lambda_p$ des scalaires tels que $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x)+ \cdots + \lambda_p u^{p-1} (x)=0$
On a applique $u^{p-1}$ ce qui donne $\lambda_0 u^{p-1} (x)=0$ et donc $\lambda_0=0$ car $p= \min \{ k \in \N^{*} \ | u^k =0 \}$
Ce qui donne $ \lambda_1 u(x)+ \cdots + \lambda_p u^{p-1} (x)=0$. On applique à présent $u^{p-2}$ et on en déduit $\lambda_1 =0$ etc...
La famille $(x,u(x), \cdots ,u^{p-1}(x))$ est une famille libre de $E$.
Supposons $p> \dim (E)=n$ alors la famille $(x,u(x), \cdots ,u^{p-1}(x))$ est une famille libre de dimension strictement supérieure à $n$ ce qui est absurde.
Donc $ p \leq \dim(E)$.
Ainsi $p \leq 1$ et donc $p=1$ car $p$ est non nul par définition.
Conclusion : $\boxed{u^1=u=0}$ -
OS a écrit:Oui Poirot. Montrons que si $u$ est une application de $\R$ dans $\R$ alors il existe $\lambda \in \R$ tel que $\forall x \in \R \ u(x)= \lambda x$.
Réciproquement ...
Va te reposer, il y a du soleil, sors un peu, surtout si tu as la chance de ne pas être prisonnier de grande ville. Circule un peu en campagne. T'es vraiment fatigué. Ce n'est vraiment pas grave, mais arrête de t'infliger ça (sous réserve que ce ne soit pas la caméra cachée). T'as juste besoin de relâcher un peu là.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe C j'ai compris l'idée après la rédaction est à revoir. Je ne travaille pas beaucoup ces temps-ci, 1 à 2 heures par jour. Mais il m'arrive de réfléchir à un détail qui me bloque durant la journée.
Voici une rédaction parfaite.
Soit $u$ une application de $\R$ dans $\R$. Alors $u$ est linéaire si et seulement si il existe $\lambda \in \R$ tel que $\forall x \in \R \ u(x)=\lambda x$. En effet, de telles applications sont évidement linéaire, et, réciproquement si $u \in \mathcal L(\R)$ alors on a $\forall x \in \R \ u(x)=u(x 1)=x u(1)= \lambda x$ avec $\lambda =u(1)$. -
HS: AD, juste pour le perfectionnisme. Tu es sûr qu'à l'impératif même les exceptions des verbes du premier groupe en er ne prennent pas de "s"?
(pardon OS)
[Voir la conjugaison https://leconjugueur.lefigaro.fr/conjugaison/verbe/aller.html
Et en paraphrasant Chaurien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2189034,2189760#msg-2189760
pour une fois qu'un média de gauche droite est de quelque utilité. AD]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je suis d'accord avec AD, pas de "s".
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Une heure par jour en plus du collège ça me paraît énorme. Mais en maths c'est bien le détail qui bloque dans un coin de ta tête qui fait progresser. Ne fais rien de nouveau avant d'élucider le truc en cours dans ta tête, tu vas te noyer sinon !
Si tu as pensé au critère "l'indice de nilpotence est inférieur à la dimension" seul je te félicite sinon. C'est une preuve élaborée pour un résultat simple mais c'est plutôt original. -
Riemann j'y ai réfléchi depuis 2 jours à cette question. Je me suis souvenu d'une question de Mines MP 2020 qui demandait de montrer la liberté de la famille. Je me suis dit que ça pourrait servir.
Oui je vais éviter de faire trop de choses en même temps. Ça fait surchauffer le cerveau. -
Chalk,
j'ai bien rigolé avec ton "Tu es nouveau sur le forum" à CC et ses 45300 messages. Sous ce pseudo, il est sur le forum depuis 14 ans (*), mais comme moi, il est présent depuis les premières année et a dû changer de pseudo.
Cordialement.
(*) annoncé, mais ça semble être le maximum qu'affiche le logiciel du forum : AD aussi est noté "quatorze années" et Manu, le créateur du forum (donc depuis 20 ans) est soumis à la même limitation ! -
@ OShine : Tu viens de démontrer que $u$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel R si et seulement si $u(x) = a x$ pour un certain $a \in R$ et $\forall x \in R$.
C'est quoi l'indice de nilpotence d'un endomorphisme $u \neq o $ ? Conclusion ?? -
On a $p \leq \dim \R=1$ donc $p=1$. L'indice de nilpotence vaut 1.
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Bonsoir OShine.
Dire qu'un endomorphisme est nilpotent d'indice 1 c'est dire que cet endomorphisme est nul.
SERGE_S demande quel est l'indice de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent de $\R$ qui n'est pas nul.
Au fait, cela existe une application linéaire nilpotente $u\colon E\to F$ entre deux espaces vectoriels différents ? -
Serge S :
Si $p=1$ alors $u=0$. Donc par contraposée, si $u \ne 0$ alors $p >1$ donc $p \geq 2$.
Philippe Malot
Quand on compose $u^2(x)$ il faut que $u(x) \in E$. Donc on doit avoir $F \subset E$. Mais je ne saurais pas dire si on peut avoir $F \ne E$.
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