Matrice inversible dans Mn(R) et Mn(C)

OShine · February 2021

Bonsoir,

Je ne comprends pas pourquoi une matrice est inversible dans $\mathcal M_n(\R)$ si et seulement si elle est inversible dans $\mathcal M_n(\C)$. 117844

nicolas.patrois · February 2021

Tu connais la formule avec les mineurs ?

Riemann_lapins_cretins · February 2021

Heuristique : pour chercher le noyau on fait des additions, soustractions et divisions dans le corps de base (donc R). On reste dans le corps à chaque étape donc pas de raison qu'on ait un passage de R à C puisqu'il n'y a aucune extraction de racine par exemple.

Guego · February 2021

Ou bêtement, en revenant à la définition (sans déterminant).

OShine · February 2021

Nicolas Patrois oui mais je ne vois pas en quoi ça aide. Si on note $\Delta_{ij}$ le mineur de $a_{ij}$ alors :

$\det A= \displaystyle\sum_{i=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} \Delta_{ij}=\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} \Delta_{ij} $

Les mineurs sont aussi des déterminants, c'est le serpent qui se mort la queue...

Guego

$A \in \mathcal M_n (\R)$ est inversible si et seulement si il existe $B \in \mathcal M_n (\R)$ tel que $AB=BA=I_n$

Je ne comprends pas la différence entre inversible dans $\mathcal M_n (\C)$ et inversible dans $\mathcal M_n (\R)$. Ceci n'est pas expliqué dans mon livre de première année.

noobey · February 2021

Pense au pivot de Gauss !

Riemann_lapins_cretins · February 2021

En gros le problème qui pourrait se poser est qu'une matrice réelle pourrait très bien n'avoir pas d'inverse à coefficients réels mais un inverse à coefficients complexes.

Mais comme j'ai dit, pense à la manière dont on obtient l'inverse en pratique. Ce ne sont que des "opérations élémentaires" comme disent les sales Gauss.

OShine · February 2021

Ah d'accord merci, $A$ est à coefficients réels, si on applique le pivot de Gauss, on multiplie par des coefficients réels donc la matrice inverse est à coefficients réels.

Mais la méthode du déterminant évoquée par le livre, je ne comprends pas :-S

OShine · February 2021

Je ne comprends pas la différence entre déterminant non nul dans $M_n( \R)$ et déterminant non nul dans $M_n( \C)$.

Heuristique · February 2021

Une matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ admet un déterminant $\text{dét}(M)$ qui est à valeurs dans $\mathbb{K}$. En particulier, si une matrice est à coefficients réels (donc complexes), la valeur de son déterminant ne change pas, qu'on la voit comme une matrice à coefficients dans $\mathbb{R}$ ou dans $\mathbb{C}$.

On a également la propriété selon laquelle $M$ est inversible dans $GL_n(\mathbb{K})$ ssi son déterminant est non nul.

A partir de ces 2 remarques, tu devrais être capable de conclure.

De manière générale, j'ai l'impression que l'étude de la réduction est encore trop complexe pour ton niveau en maths. Je te suggérerai plutôt de reprendre les bases et de vérifier que tu les connais. Pour cela, ne te contente pas de lire des corrigés d'exercices auxquels tu n'arrives pas : cherche davantage, refais tous les exercices et les démonstrations de cours que tu as déjà vues. Le programme de sup prend 1 an à être compris (en supposant que l'élève soit suffisamment bon pour tout comprendre en 1 an, ce qui demande un haut niveau), et ce en y consacrant tout son temps. Il me semble donc difficile d'y arriver rapidement en ayant un métier à côté : il faut en tout cas compter plusieurs années si on part de zéro.

Thierry Poma · February 2021

Bonsoir,

Il semble (presque) évident que $\Bbb{R}\subset\Bbb{C}\Longrightarrow\mathcal{M}_n\left(\Bbb{R}\right)\subset\mathcal{M}_n\left(\Bbb{C}\right)$.

Dès le début de ton texte, l'on considère $A\in\mathcal{M}_n\left(\Bbb{R}\right)$, ce qui fait que $A\in\mathcal{M}_n\left(\Bbb{C}\right)$ également (la réciproque étant clairement fausse). Partant,

Si $A$ est inversible dans l'algèbre $\mathcal{M}_n\left(\Bbb{R}\right)$, alors $A$ est inversible dans l'algèbre $\mathcal{M}_n\left(\Bbb{C}\right)$. Ok ?
Si $A$ n'est pas inversible dans l'algèbre $\mathcal{M}_n\left(\Bbb{R}\right)$, alors $A$ n'est pas inversible dans l'algèbre $\mathcal{M}_n\left(\Bbb{C}\right)$. Que peut-on en déduire par contraposition ?

Que peut-on vérifier avec le déterminant de $A$ ?

Bonne nuit !

OShine · February 2021

Heursitique, avant d'étudier ton message en détail je tiens à dire que le début du cours sur la réduction je le trouve bien plus facile que certains chapitres de MPSI comme les déterminants et en particulier le groupe symétrique.
Je bloque sur des petits détails comme celui-ci mais les démonstrations sont pour l'instant simples à comprendre.

J'ai passé 2 ans et demi sur le programme de sup, j'ai étudié toutes les propositions, toutes les démonstrations et chaque jour je relis des passages quand j'ai un doute. Par exemple, il y a une semaine j'ai revu la démonstration du théorème de d'Alembert. J'ai revu la décomposition en éléments simples dans $\R[X]$ et $\C[X]$.

Par contre refaire tous les exercices de mon livre de MPSI serait une perte de temps, la majorité des exercices sont d'un niveau très relevé. C'est un bouquin où le cours est clair, les exercices de la partie cours sont des exercices d'application accessibles, mais les exercices en fin de chapitre sont souvent difficiles, voir très difficiles.
J'ai fait un sujet Centrale PC 2012 je trouve ça beaucoup moins difficile que les exercices de mon livre de MPSI. J'ai réussi à faire la moitié des questions alors que ceux du livre je n'arrive jamais à démarrer.

Mais je ne pars pas de zéro. J'ai fait MPSI-MP quand j'étais étudiant, même si mon niveau en prépa était faible, ces notions me sont familières mis à part les probas qui n'étaient pas au programme avant.
Je compte une fois terminé ce chapitre, m'entrainer sur Centrale maths 1 PC 2019. J'ai déjà regardé les questions, les premières parties je sais faire plein de questions.

Thierry Poma

Oui je suis d'accord. Par contraposée si $A$ est inversible dans $M_n(\C)$ elle l'est dans $M_n(\R)$.

Si $A$ n'est pas inversible dans $M_n(\R)$ alors $\det \ A=0$. Donc $A$ n'est pas inversible dans $M_n(\C)$

Math Coss · February 2021

Quitte à utiliser le déterminant, autant constater que son calcul est le même sur $\R$ que sur $\C$ et procéder par équivalence, non ? Une matrice est inversible ici SSI son déterminant est non nul SSI elle est inversible là.

Math Coss · February 2021

Cela dit, ce n'est pas si fort que constater que l'inversibilité de $A$ signifie que tout système $AX=B$ a une unique solution $X$. Or pour résoudre un système linéaire, il suffit de faire des combinaisons linéaires sans agrandir le corps des coefficients.

OShine · February 2021

Vos remarques m'ont permis de comprendre un autre point de blocage.

Le rang d'une matrice réelle est le même qu'on la considère dans $M_n(\C)$ ou dans $M_n(\R)$. Il est caractérisé par la plus grande taille des matrices carrés extraites de déterminant non nul.

Heuristique, si j'ai réussi à faire cet exercice d'application dans la partie cours sans regarder la solution. 117852

OShine · February 2021

Math Coss je suis d'accord avec toi, le calcul du déterminant est identique on peut raisonner directement par équivalence.

christophe c · February 2021

Tu continues de déléguer (à des livres, des exercices, des gens), et une fois de plus, tu as refusé de souffrir à chercher assez longtemps.

Ton livre veut juste dire $M$ inversible $\iff det(M)$ non nul, rien de plus, rien de moins, le calcul du déterminant se faisant avec des multiplications et des additions en partant des coefficients, donc indépendamment de l'anneau qui les contient (du moment que les opérations marchent pareil).

Je suis à peu près prêt à parier que tu le savais. Donc en amenant les autres à avoir "accéder" à ta propre mémoire, tu ne l'as pas fait toi-même, n'a pas souffert, n'a pas été tatoué, et n'a donc pas avancé.

Sache que les autres le savaient et se sont retenus de te le dire, mais à force de nombre et de mutualisations ça t'a été spoilé finalement.

Si $BA = J$,
avec $A$ qui n'a que des coefficients réels
et si $X$ est un vecteur colonne avec des coefficients réels uniquement tel que $AX=0$,
alors $0 = B0 = BAX = JX=X$,
donc $A$ est injective en tant que $\in M_n(\R)$.

Tu n'as même pas besoin de savoir dans quel monde vivent les coefficients de $B$, en particulier, pas besoin de savoir qu'ils sont dans $\C$, qui est quand-même un surcorps très particulier de $\R$.

Le fait que

$A$ injective => $A$ surjective (et donc bijective)

(qui t'aurait permis de conclure)

est un des gros serpents de mer de L1 (et pas seulement de MPSI). Mais comme tu joues au documentaliste plus qu'au matheux, tu n'as aucun tatouages qui te permet de hiérarchiser cette culture (que tu as mémorisé de manière linéaire)

Bref, tant que tu continues à faire la machine tournante sans dissipation, tu es "réversible", ie tu as ton niveau d'avant tout ce travail. A part que tu vas finir par gerber un jour tes bouquins et ta méthodologie, je te conseille une énième fois d'avoir une approche plus tatouante et personnelle.

OShine · February 2021

Ok Christophe C.

Matrice inversible dans Mn(R) et Mn(C)

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 39