Vulgarisation schéma (géométrie algébrique)
Bonjour,
je vais faire un exposé prochainement à des matheux.ses mais certain.es d'entre eux ne savent que ce qu'est un schéma.
L'exposé n'est pas centré sur les schémas mais je les utilise un peu et donc j'aimerais juste introduire cette notion pour celles et ceux qui ne la connaissent pas, en faisant le lien avec les ensembles algébriques classiques, dans le sens "ensemble de zéros de polynômes".
En préparant mon exposé, je me suis retrouvé bloqué car je n'arrive pas à expliquer de manière simple, mais quand même avec une certaine rigueur, les schémas: en fait j'ai l'impression que soit je dit juste que ce sont une généralisation des variétés algébriques, soit je rentre trop dans les détails, et comme j'ai un temps fini (environ 50 min) pour faire cet exposé, je ne peux pas me permettre de passer trop de temps dessus.
Auriez-vous des idées de comment aborder la chose de manière rigoureuse mais sans rentrer dans tous les détails des définitions et de la théorie ? Ou peut-être avez-vous des références qui expliquent de manière concise ce qu'est un schéma ?
Merci d'avance !
je vais faire un exposé prochainement à des matheux.ses mais certain.es d'entre eux ne savent que ce qu'est un schéma.
L'exposé n'est pas centré sur les schémas mais je les utilise un peu et donc j'aimerais juste introduire cette notion pour celles et ceux qui ne la connaissent pas, en faisant le lien avec les ensembles algébriques classiques, dans le sens "ensemble de zéros de polynômes".
En préparant mon exposé, je me suis retrouvé bloqué car je n'arrive pas à expliquer de manière simple, mais quand même avec une certaine rigueur, les schémas: en fait j'ai l'impression que soit je dit juste que ce sont une généralisation des variétés algébriques, soit je rentre trop dans les détails, et comme j'ai un temps fini (environ 50 min) pour faire cet exposé, je ne peux pas me permettre de passer trop de temps dessus.
Auriez-vous des idées de comment aborder la chose de manière rigoureuse mais sans rentrer dans tous les détails des définitions et de la théorie ? Ou peut-être avez-vous des références qui expliquent de manière concise ce qu'est un schéma ?
Merci d'avance !
Réponses
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Y a une raison particulière qui fait que t’aies besoin spécifiquement des schémas et que tu puisses pas te contenter d’une vision ensemble algébrique sur un corps algébriquement clos?
Tout le monde a une idée de ce qu’est grosso modo une variété algébrique. Même sur un corps non algébriquement clos. Meme sur Z. Ca veut pas dire que les subtilités sont claires pour tout le monde, mais sauf si y a une raison spécifique on peut faire « comme si ». -
Le point de vue fonctoriel tel qu'il est abordé dans cette version d'EGA:https://fr.shopping.rakuten.com/offer/buy/171929285/elements-de-geometrie-algebrique-i-die-grundlehren-der-mathematischen-wissenschaften-in-einzeldarstellungen-band-166-de-alexandre-grothendieck-jean-alexandre-dieudonne.html est à mon avis le plus simple à comprendre (les schémas sont équivalents à une sous-catégorie sympathique pleine des foncteurs covariants de la catégorie des anneaux dans celle des ensembles). Les détails techniques (lourds: faisceaux, espaces localement annelés, etc) de la construction d'une telle catégorie peuvent être remis à plus tard pour ceux qui s'y intéresseront.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Non non je pense que tout ce que je fais est compréhensible s'ils pensent à une variété algébrique (j'écris "je pense" car mon exposé n'est pas du tout fini), c'est juste que j'utilise le vocabulaire des schémas et donc je trouvais ça sympa de leur introduire un peu ce que c'était
En fait je pensais leur dire quelque chose du style "à un sous-ensemble S de polynômes de $k[X_1,\cdots,X_n]$ j'associe $\{S(R) | R$ une $k$-algèbre$\}$ et c'est cet ensemble que j'appelle un schéma" avec $S(R)$ les solutions dans $R^n$ du système polynomial associé à $S$, tu vois ?
Mais j'aimerais rendre ce que j'ai écrit plus rigoureux mais sans que ce soit trop long à expliquer. -
Merci Foys! Effectivement (j'attend les avis) mais je pensais partir sur le point de vue fonctionel également.
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Mhm au vu de ton dernier message il est très clair que tu cherches à leur parler du point de vue foncteur des points, comme le dit Foys;
Alors, s'iels ne savent pas ce qu'est un schéma, il n'est pas certain que tu puisses employer le mot "foncteur" sans les perdre non plus, mais je pense que quelque chose comme "C'est comme une variété algébrique, sauf qu'au lieu de considérer uniquement les solutions de ces équations dans le corps $k$, on les considère dans toutes les $k$-algèbres, plus précisément on considère l'assignation $R\mapsto \{$ solutions dans $R\}$. Mais on peut quand même voir ça comme un objet géométrique, similaire à une variété algébrique" devrait être tout à fait suffisant/accessible.
Non ?
(tiens je fais comme Pablo :-D ) -
Hum hum ce message est beaucoup trop pauvre en catégories dérivées; en cohomologie cristalline, en dualité de Hodge 8-)Maxtimax a écrit:(tiens je fais comme Pablo grinning smiley )Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
bobito écrivait:
En fait je pensais leur dire quelque chose du style "à un sous-ensemble S de polynômes de $k[X_1,\cdots,X_n]$ j'associe
$$\{S(R) | R: k-algebre\}$$ et c'est cet ensemble que j'appelle un schéma" avec $S(R)$ les solutions dans $R^n$ du système polynomial associé à $S$,
Tu vois ?
Mais j'aimerais rendre ce que j'ai écrit plus
rigoureux mais sans que ce soit trop long à
expliquer.
Mais ce que tu as écrit est PARFAITEMENT RIGOUREUX (à tel point que tu m'as appris en 5 secondes ce qu'est un schéma, ce dont je te remercie**).
Bon, c'est mieux d'utiliser des "mapsto", je te le récris.
A tout ensemble de polynômes $S$ on associe $[R\mapsto EnsDesSolutionsDeDans(S,R)]$
En leur rappelant qu'une solution dans $R$ de $S$ est une application de l'ensemble des inconnues dans $R$ qui les propriétés que tu sias énoncer.
** je voyais régulièrement ce mot défiler sur le forum mais flemme de googler "schéma". 3 secondes dans une vie, je te le dois. Une bière (ou autre) quand tu veux après le confinementAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ceci n'est qu'un schéma affine (de type fini sur $k$). Ca n'est pas la définition générale de schéma.
Mais tout schéma (localement de type fini sur $k$) ressemble localement à ça. -
Petite digression : est-ce qu'on peut exprimer fonctoriellement un schéma en toute généralité ? Quelle partie de la théorie des espaces fibrés peut-on exprimer sur les schémas ?
ignatus. -
ignatus : oui, on peut exprimer la plupart (voire toutes) les notions géométriques dans ce langaga
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Merci Maxtimax.
Le texte de David Madore est vraiment très bien. Il me semble que c'est flipflop le premier qui l'a mis en ligne. Connaîtriez-vous par hasard d'autres textes de vulgarisation de ce genre ?
ignatus. -
Tant mieux si ça t'a aidé Christophe Ahah ok pour la bière !
Merci topalg pour le livre. Je vais regarder ça. Merci pour vos réponses !
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Bonjour!
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