Endomorphisme nilpotent
En écrivant pour moi un truc sur les endomorphismes nilpotents, je me suis rendu compte d'un truc, sûrement évident pour les connaisseurs mais je n'avais jamais remarqué. Pouvez-vous me dire s'il y a une erreur ci-dessous ? La partie "nouvelle" pour moi est en bleue.
Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
On montre notamment à l'aide du principe des tiroirs qu'il existe (un unique) $p\in [\![0,\dim(E)]\!]$ tel que la suite $\big(\ker(u^k)\big)_{0\leqslant k\leqslant p}$ soit strictement croissante (dans $\mathcal P(E),\subset)$) et la suite $\big(\ker(u^k)\big)_{p\leqslant k\leqslant\dim(E)}$ soit constante (dans $(\mathcal P(E),\subset)$).
Maintenant, supposons de plus $u$ nilpotent, i.e. il existe $k\in\N$ tel que $u^k=0_{\mathcal L(E)}$. On note $n(u)$ son indice de nilpotence i.e. le minimum (dans $(\N,\leqslant)$) de $\{k\in\N\mid u^k=0_{\mathcal L(E)}\}$ (partie non vide de $\N$). On a alors $p=n(u)$ (pas de soucis pour ça).
Mais la chaîne d'inclusion stricte de la proposition précédente donne également :
$$\{0_E\}\subsetneq\dots\subsetneq\ker(u^{n(u)})=E.
$$ D'où :
Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
On montre notamment à l'aide du principe des tiroirs qu'il existe (un unique) $p\in [\![0,\dim(E)]\!]$ tel que la suite $\big(\ker(u^k)\big)_{0\leqslant k\leqslant p}$ soit strictement croissante (dans $\mathcal P(E),\subset)$) et la suite $\big(\ker(u^k)\big)_{p\leqslant k\leqslant\dim(E)}$ soit constante (dans $(\mathcal P(E),\subset)$).
Maintenant, supposons de plus $u$ nilpotent, i.e. il existe $k\in\N$ tel que $u^k=0_{\mathcal L(E)}$. On note $n(u)$ son indice de nilpotence i.e. le minimum (dans $(\N,\leqslant)$) de $\{k\in\N\mid u^k=0_{\mathcal L(E)}\}$ (partie non vide de $\N$). On a alors $p=n(u)$ (pas de soucis pour ça).
Mais la chaîne d'inclusion stricte de la proposition précédente donne également :
$$\{0_E\}\subsetneq\dots\subsetneq\ker(u^{n(u)})=E.
$$ D'où :
- $\forall k\in [\![0,n(u)]\!],\quad \dim\big(\ker(u^k)\big)=k$.
- En particulier, $\dim(E)=\dim\big(\ker(u^{n(u)})\big)$.
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Réponses
Ton premier point est faux (prends un endomorphisme de rang 1 et de trace nulle dans un espace de dimension >2).
Ta dernière ligne dit juste que le noyau de l’endomorphisme nul (!?) est égal à E. Oui. C'est vrai mais bon :-D
Oui le deuxième point bleu est en effet complètement inutile. En fait, je souhaitais dire : $\dim\big(\ker(u^{n(u)})\big)=n(u)$ mais maintenant j'ai un doute.
Je regarde à nouveau.
Merci pour le retour.
Sur le même thème, je cherche en vain un argument non matriciel pour montrer que si $F$ est stable par $u$ nilpotent alors il existe $k\in [\! [0, n(u)]\! ]$ tel que $F=\ker(u^k)$.
À supposé que ce soit vrai et que je ne divague pas encore une fois..
C'est visiblement faux, déjà pour $u=0$.