Déterminant

À partir d'une base du $\C$-espace $\C^n$, sais-tu faire une base du $\R$-espace $\C^n=\R^{2n}$ ?
Si la matrice $A$ est triangulaire, sais-tu comparer les deux déterminants ?
Alors tu sais traiter le cas général !

Moi je travaillerais par blocs.

Un peu vache si tu ne demandes pas $\left[\begin{array}{cc}I_n&iI_n\\iI_n&I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}U&-V\\V&U\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I_n&iI_n\\iI_n&I_n\end{array}\right]^{-1}.$

senpai : pour le 2), j'utilise le fait que $SL_n(\C)$ est le groupe dérivé de $GL_n(\C)$, i.e. il est engendré par les matrices $ABA^{-1}B^{-1}, A,B\in GL_n(\C)$.
Pour prouver ça, on peut prouver dans un premier temps que $SL_n(\C)$ est engendré par les matrices élémentaires ("de transvection", i.e. $I_n+ \alpha E_{i,j}, i\neq j$), puis montrer que celles-ci s'expriment sous la forme $ABA^{-1}B^{-1}$.

On procède comme dit P. pour exécuter une sorte de $\mathbb C$-diagonalisation par blocs de $A_{\R}=$$\left[
\begin{array}{cc}
U & -V \\
V & U%
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$.
$\bullet $ On imite la $\mathbb{C}$-diagonalisation de la matrice : $W=\left[
\begin{array}{cc}
u & -v \\
v & u%
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, qui revient à la $\mathbb{C}$-diagonalisation de la matrice : $\left[
\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0%
\end{array}
\right] $.
On a : $\Delta =\Pi ^{-1}W\Pi $, avec : $\Pi =\left[
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-i & i%
\end{array}
\right] $, $\Pi ^{-1}=\frac{1}{2i}\left[
\begin{array}{cc}
i & -1 \\
i & 1%
\end{array}
\right] =\frac{1}{2}\left[
\begin{array}{cc}
1 & i \\
1 & -i%
\end{array}
\right] $, et : $\Delta =\left[
\begin{array}{cc}
u+iv & 0 \\
0 & u-iv%
\end{array}
\right] $.
$\bullet $ Revenant au problème initial, on pose donc : $P=\left[
\begin{array}{cc}
I_{n} & I_{n} \\
-iI_{n} & iI_{n}%
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ et : $Q=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}{cc}
I_{n} & iI_{n} \\
I_{n} & -iI_{n}%
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$, en sorte que :
$~~~~~~~~~~~~~~$ $PQ=\left[
\begin{array}{cc}
I_{n} & 0_{n} \\
0_{n} & I_{n}%
\end{array}
\right] =I_{2n}$, d'où : $Q=P^{-1}$.
$\bullet $ On a alors : $P^{-1}A_{\R}P=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}{cc}
I_{n} & iI_{n} \\
I_{n} & -iI_{n}%
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{cc}
U & -V \\
V & U%
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{cc}
I_{n} & I_{n} \\
-iI_{n} & iI_{n}%
\end{array}
\right] $
$~~~~~~~~~~~~~~$ $=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}{cc}
U+iV & -V+iU \\
U-iV & -V-iU%
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{cc}
I_{n} & I_{n} \\
-iI_{n} & iI_{n}%
\end{array}
\right] =\left[
\begin{array}{cc}
U+iV & 0_{n} \\
0_{n} & U-iV%
\end{array}
\right] $.
$\bullet $ On en déduit : $\det A_{\R}=\det (P^{-1}A_{\R} P)=\det (U+iV)\det (U-iV)$
$~~~~~~~~~~~~~~$$=\det (U+iV)\det (\overline{U+iV})=\det (U+iV)\overline{\det (U+iV)}=\left|
\det (U+iV)\right| ^{2}$.
$\bullet $ Référence : E. Ramis, Exercices d'Algèbre (violet), Masson &Cie, 1970, p. 132.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Comme les matrices $A$ et $B$ sont à coefficients réels et que :

$\det(A+iB)= \displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{k=1}^n (a_{\sigma(k)k}+i(b_{\sigma(k)k})$, on a clairement $\overline{\det(A+iB)}=\det(A-iB)$ et on finit en utilisant que $\forall z \in \C \ z \bar{z} = |z|^2$

J'y vais de la mienne alors.

D'abord, si $A$ est une matrice complexe, elle est trigonalisable : il existe $P$ inversible et $T$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$. Alors, $\det(A)=\det(T)$. Il faut vérifier qu'après identification de $\C^n$ à $\R^{2n}$, $\det(A_\R)=\det(T_\R)$ ; je passe sur ce point... On peut donc supposer que $A$ est triangulaire.

Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $\C^n$. Plutôt que former une base de $\R^{2n}$ comme dans ce message, on forme $(e_1,\newcommand{\i}{\mathrm{i}}\i e_1,e_2,\i e_2,\dots,e_n,\i e_n)$. La matrice $A_\R$ est alors (semblable à) une matrice triangulaire par blocs $2\times2$, lesquels blocs sont $\left(\begin{smallmatrix}a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\right)$ si le coefficient diagonal de $A$ est $a+b\i$. Il devrait être facile de conclure, modulo les erreurs que j'introduis en tapant sans relire.