Lien rang matrice / application linéaire
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai passé pas mal de temps à approfondir le lien entre matrices et applications linéaires, notamment le fait qu'il existe une unique matrice (pour 2 bases fixées) associée à une application linéaire de E (dim n) dans F (dim p) donnée.
Ma question porte sur le résultat qui énonce que le rang d'une matrice est égal au rang de son application linéaire associée. On dit que:
$rg(A)=\dim(vect(C_1, \ldots ,C_n)) = \dim (vect(f(e_1), \ldots , f(e_n)))= rg(f).$
Pourtant, les $C_i$ sont des vecteurs colonnes donc des éléments de $K^p$ et les $f(e_i)$ sont des éléments de $F$. Les espaces engendrés ne sont pas les mêmes, alors pourquoi dit-on si rapidement que leurs dimensions sont les mêmes ? C'est peut-être obtenu parce qu'il existe un isomorphisme entre $L_{K}(E,F)$ et $M_{p,n}(K)$, mais je ne vois pas bien.
C'est que ça doit être évident, mais je ne vois pas l'évidence, pouvez-vous m'aider à la voir? ))
J'ai passé pas mal de temps à approfondir le lien entre matrices et applications linéaires, notamment le fait qu'il existe une unique matrice (pour 2 bases fixées) associée à une application linéaire de E (dim n) dans F (dim p) donnée.
Ma question porte sur le résultat qui énonce que le rang d'une matrice est égal au rang de son application linéaire associée. On dit que:
$rg(A)=\dim(vect(C_1, \ldots ,C_n)) = \dim (vect(f(e_1), \ldots , f(e_n)))= rg(f).$
Pourtant, les $C_i$ sont des vecteurs colonnes donc des éléments de $K^p$ et les $f(e_i)$ sont des éléments de $F$. Les espaces engendrés ne sont pas les mêmes, alors pourquoi dit-on si rapidement que leurs dimensions sont les mêmes ? C'est peut-être obtenu parce qu'il existe un isomorphisme entre $L_{K}(E,F)$ et $M_{p,n}(K)$, mais je ne vois pas bien.
C'est que ça doit être évident, mais je ne vois pas l'évidence, pouvez-vous m'aider à la voir? ))
Réponses
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$F$ et $K^p$ sont isomorphes, donc tu peux en déduire un isomorphisme entre $\mathrm{Vect}(C_1,\ldots,C_n)$ et $\mathrm{Vect}(f(e_1),\ldots,f(e_n))$.
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Bonjour
Par définition, $rg(f)$ est la dimension de l'image (qui est bien un sous-espace vectoriel de $F$). Cette image est engendrée par $(f(e_1),\dots,f(e_n))$, c'est-à-dire par les vecteurs colonne de la matrice. -
Héhéhé écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2192364,2192388#msg-2192388
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Merci.
Avec $\phi$ l'isomorphisme de $F$ dans $K^p$: $vect(C_1, \ldots , C_n) = vect( \phi (f(e_1)), \ldots , \phi (f(e_n))) = \phi (vect ( f(e_1), \ldots , f(e_n))) = \phi (Im\,f)$
Donc $rg(A)=\dim (vect(C_1, \ldots , C_n)) = \dim ( \phi (Im\,f) )$
Est-ce que $\dim ( \phi (Im\,f) ) = \dim (Im\, f) = rg(f)$ car $\phi$ est un isomorphisme ? C'est correct de le voir comme ça ? -
Magnolia écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2192364,2192390#msg-2192390
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Bonjour,
Il me semble pourtant que $f(e_1)$ est un élément de $F$ alors qu'un vecteur colonne de la matrice $A$ est un élément de $K^p$ obtenu avec l'application coordonnées de $F$ dans $K^p$, non ?
Autrement dit, en appelant $g$ cette application coordonnées, $C_1 = g(f(e_1))$ et j'ai l'impression qu'on ne peut pas dire directement que $C_1$ et $f(e_1)$ sont égaux. C'est ça qui me fait me gratter la tête. -
La $k$-ième colonne de la matrice est simplement le vecteur $f(e_k)$ écrit dans la base choisie de $F$.
-
Salut. J'avais eu du mal à comprendre ça aussi il y a environ 6 mois quand je préparais le CAPES. Avec du recul, ça m'a l'air plus clair.
Premier résultat :
Etant donné une base $e$ d'un $\K$ espace vectoriel de dimension finie, le rang de la famille de vecteurs $(x_1, \cdots, x_p)$ de $E$ est égal au rang de la matrice $Mat_e (x_1, \cdots, x_p)$
Démonstration :
Si $e=(e_1, \cdots, e_n)$ alors l'application $\phi : \K^n \longrightarrow E \\ \ \ \ \ \ (\varepsilon_i)_{1\leq i \leq n} \mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^n \varepsilon_i e_i$ est un isomorphisme puisque l'image de la base canonique $\K^n$ est la base $e$.
Cet isomorphisme transforme la famille des vecteurs colonnes de $Mat_e (x_1, \cdots, x_p)$ en la famille $(x_1, \cdots, x_p)$ et donc le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de $Mat_e (x_1, \cdots, x_p)$ en $Vect (x_1, \cdots, x_p)$
Deuxième résultat :
Soit $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels de dimension finie rapportés respectivement à des bases $e$ et $f$. Le rang de l'application linéaire $u \in \mathcal L(E,F)$ est égal au rang de la matrice $Mat_{e,f}(u)$
Démonstration :
C'est une conséquence du point précédent car $Mat_{e,f}(u)=Mat_f (u(e))$ et que $rg \ u= \dim (Im \ u)= \dim \ Vect(u(e))$ -
Merci bcp
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