Racines complexes

Geffrard
Geffrard
dans Algèbre
Bonjour j’ai un petit problème je dois trouver les racines complexes du polynôme suivant
X8 + 20X4 + 64.
Je sais que je dois trouver 8 racines mais je n’arrive pas à les obtenir.
J’apprécierais vraiment votre aide.
Merci.

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    $y:=x^4$
  • rémi
    rémi
    Un changement de variable de faciliterait peut-être la vie ?
    Combien as-tu obtenu de racines pour le moment ?
  • Geffrard
    Geffrard
    j'ai fais un changement de variables en prenant x^4 =y ,et j’ai obtenue -4 et -16 donc (y+4)(y+16)
    puis j’ai remplacée par (x^4 +4)(x^4 +16) et la encore j’ai refais un changement de variables en prenant p=x^2 .

    Puis j’ai eu (p^2+4)p^2 +16)=0 ce qui donne p=+-racine(16) et p=+-racine(4)
    et c’est la que je bloque..
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    > p=+-racine(16) et p=+-racine(4)

    Non.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Geffrard
    Geffrard
    Pouvez-vous m'éclairer svp
  • Dom
    Dom
    On a $Y^2+20Y+64=0$.

    Ça donne quoi ?
  • Geffrard
    Geffrard
    Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2192566,2192628#msg-2192628
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Si vous me demandez les racines j'ai trouvé -4 et -16
  • Dom
    Dom
    J’ai « trouvé » ;-)

    Alors ensuite il suffit de résoudre $x^4=-4$ et de résoudre $x^4=-16$.
    On ne trouve rien de positif ni même de réel normalement.
  • Geffrard
    Geffrard
    Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2192566,2192644#msg-2192644
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Merci pour ta patience
    Donc ici j'ai utilisé y=x^2 et j'ai trouvé y=+-i racine(4) ou y=+-i racine(16).
    Est-ce correct ?
  • Dom
    Dom
    Bon, on va écrire ça plus joliment.

    y=\pm i \sqrt{4} $ \ \ \ \ $ (le pm donne $\pm$ et le \sqrt{4} donne $\sqrt{4}$ ).

    mais il faut ajouter des dollars autour (un devant le code et un derrière le code), et ça donne ceci :

    $y=\pm i \sqrt{4}$

    Je suis d'accord pour cette résolution.
    Une remarque : on peut écrire $\sqrt{4}$ plus simplement...
  • Geffrard
    Geffrard
    Merci je prends note.
    Mais ici j'ai trouvé que quatre racines or je dois en trouver 8 pour mon polynôme.
    je ne vois pas comment trouver les 4 autres.
  • Dom
    Dom
    Les dernières racines étaient des carrés (tu avais posé $y=x^2$).

    $-i\sqrt{4}$ ; $i\sqrt{4}$ ; $-i\sqrt{16}$ ; $i\sqrt{16}$

    Tu devrais en proposer une écriture plus simple.
    Ces quatre solutions sont à « dédoubler » car ce sont les carrés des solutions qu’on cherche.

    Une autre remarque :
    Pour ne pas taper un code LateX, tu fais un clic droit dessus, puis Math as... et tu auras accès au code pour le copier puis le coller.
  • Geffrard
    Geffrard
    Merci beaucoup !!!
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    ton équation s'écrit : $(x^4 + 8)^2 + 4x^4 = 0$ soit en factorisant :

    $(x^4 + 2ix^2 + 8)(x^4 - 2ix^2 + 8) = 0$ soit encore :

    $((x^2 + i)^2 + 9)(x^2 - i)^2 + 9) = 0$ et donc :

    $(x^2 + 4i)(x^2 - 2i)(x^2 +2i)((x^2 - 2i) = 0$

    et donc 8 racines complexes conjuguées 2 par 2

    $x = + ou - \sqrt{2}(1 + ou - i)$

    et $x = + ou - (1 + ou - i)$

    cordialement
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Jean Lismonde, plutôt que "$+ ou -$", utilise "\pm" pour obtenir "$\pm$".

    Cordialement,

    Rescassol
  • Geffrard
    Geffrard
    jean lismonde écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2192566,2192770#msg-2192770
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Bonsoir je n'ai pas compris la factorisation à la deuxième ligne. Pourquoi a-t-on i dans l'équation ?
  • Dom
    Dom
    C’est le fameux $a^2-b^2$.
    On ne l’a pas...

    Mais on a $A^2+B^2$ qui s’écrit aussi $A^2-(iB)^2$.
  • christophe c
    christophe c
    Je n'ai lu qu'en plus encore négligemment qu'en diagonale, mais j'écris formellement un truc pour que tu l'aies en archive:

    $$EnsDesSolutionsDeTonMachin = \{z\in \mathbb{C} \mid z^4\in \{x\in \mathbb{C} \mid x^2+20x+64=0\} \ \} $$

    Compte-tenu des ravages que j'ai constatés chez les jeunes (que les vieux ne perçoivent pas) avec la mode humaine de "changement de variable", je ne pouvais pas me retenir.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Geffrard
    Geffrard
    D'accord et pour trouver x à la fin, je dois passer par quelle forme ?
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