Schémas et géométrie
Bonsoir,
je me demandais dans quelle mesure la géométrie affine (projective plutôt sans doute) pouvait être représentée par les schémas.
La première chose est de se demander quel type de figures géométriques usuelles peut se représenter par des schémas (de la même façon que le cercle unité est la réalisation d'un schéma affine dans les réels), et ensuite de se demander quels types de propriétés géométriques, de théorèmes, peuvent se "remonter" au niveau des propriétés algébriques de certains schémas.
ignatus.
je me demandais dans quelle mesure la géométrie affine (projective plutôt sans doute) pouvait être représentée par les schémas.
La première chose est de se demander quel type de figures géométriques usuelles peut se représenter par des schémas (de la même façon que le cercle unité est la réalisation d'un schéma affine dans les réels), et ensuite de se demander quels types de propriétés géométriques, de théorèmes, peuvent se "remonter" au niveau des propriétés algébriques de certains schémas.
ignatus.
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Réponses
Et on pourrait développer une géométrie de ces objets là, et on l'appellerait géométrie algébrique.
Ca va cartonner ca, je pense. :-D
Le lien ne me sautait pas au yeux, surtout que je n'ai jamais vu de bouquins qui essayaient d'expliquer des théorèmes de géométrie élémentaire à partir de la géométrie algébrique...
ignatus.
ignatus.
ignatus.
Les schémas ont été inventés pour (entre autres choses) parler des variétés algébriques, et l'immense majorité des variétés algébriques auxquelles on s'intéresse sont les variétés quasi-projectives.
Tous les théorèmes classiques sur les variétés algébriques ont une version schématique.
On n'a pas inventé les schémas ex-nihilo. Le but c'était de pouvoir mieux parler des variétés algébriques, donc des lieux d'annulations de familles de polynômes dans l'espace affine ou projectif.
Disons que je suis subjugué par l'approche fonctorielle des schémas, et comme l'on peut voir certaines figures géométriques, comme le cercle par exemple, comme des R-points d'un schéma affine, je me suis demandé comment des théorèmes de géométrie élémentaire, du plan affine par exemple, pouvaient être compris en termes de propriétés de morphismes entre schémas.
Que les schémas aient été inventés pour pallier les insuffisances des variétés algébriques, je suis vaguement au courant, puisqu'il fallait prendre en compte des corps non algébriquement clos, ou des éléments nilpotents, de ce que j'ai pu lire...
ignatus.
Les droites, les paraboles, les hyperboles, les cones, les cercles, les quadriques, les cubiques etc, tout ca c'est des variétés algébriques.
Tu peux le voir avec les schémas, par exemple.
(j'imagine un calcul du genre $k[x,y]/(x^2+y^2-1)\otimes_{k[x,y]} k[x,y]/(ax+by)$ et j'imagine que le calcul pour déterminer cet anneau revient exactement aux calculs usuels)
Ces exemples sont issus du (magnifique) livre de théorie de l'intersection d'Eisenbud et Harris.
Pour l'intersection du cercle et d'une droite, je sais pas si ca compte comme la même chose que le "calcul classique", mais "sans calcul" (avec $b\neq 0$ quitte à échanger $x$ et $y$) on voit que $\text{dim}_k k[x]/(x^2+(-b/ax)^2+1)=2$ donc pas plus de deux points dans l'intersection. Apres c'est quasiment le "calcul classique", même si de mon point de vue c'est un poil diffèrent: on ne résout pas explicitement $x^2+(-b/ax)^2+1=0$, on se contente de remarquer que le degré $2$ force l'anneau $k[x]/(x^2+(-b/ax)^2+1)$ a ne pas avoir plus de deux ideaux maximaux. Enfin c'est quasi la même chose. :-D
Sinon plus bêtement, si on a pas peut d'utiliser un marteau pilon, le théorème de Bezout assure que le nombre de points dedans est plus petit que 2. Ou utiliser la formule d'adjonction pour s'assurer que le cercle restreint à la droite reste de degré 2. :-D
Je pensais vraiment à des choses élémentaires, comme la géométrie du triangle dont parle Poirot. Apparemment, je n'ai pas l'impression que cela soit chose facile.
Merci en tout cas pour les réponses.
ignatus.