Système échelonné

beubeu29
beubeu29
dans Algèbre
Bonjour
Je suis en 1ère année de la licence informatique et sciences de l'ingénieur.

Je voulais savoir si un système comme :
1)
3x+2y+5z=3
5x-6y=7
6x=1

ou encore :
2)
3x+2y+5z=3
5x+3z=4
6x=1

sont des systèmes échelonnés ?

Car il y a toujours au moins un coefficient nul en plus mais c'est toujours la même inconnue qui se retrouve première de l'équation. Donc finalement ma question c'est : est-ce qui si on permute de places les termes d'une équations d'un système, est-ce qu'on peut que c'est le même système ? Et donc les systèmes 1) et 2) sont échelonnés.

Merci d'avance pour votre aide !

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    L’addition est commutative : tu peux donc changer l’ordre des termes dans une addition.

    Et oui, ce sont des systèmes échelonnés. Parce que tu peux résoudre de proche en proche à l’aide d’équation du premier degré. Et aussi parce que tu peux l’écrire comme $AX=B$ ou $A$ est une matrice triangulaire.
  • beubeu29
    beubeu29
    Salut,

    Merci de ta réponse !

    Mais il y a sûrement des systèmes non échelonnés que tu peux résourdre de proche en proche à l'aide d'équation de premier degré ?

    Dans mon cours la définition de système échelonné est : " Un système est échelonné si chaque ligne commence par davantage de 0 que la ligne précédente. On appelle pivot d'un système échelonné les coefficientss qui aparaissent en tête des lignes non nulles" . Mais je la trouve incomplète ou pas assez précise. Est-ce que tu n'aurais pas une meilleure définition que celle-ci ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ta définition va très bien, et tes systèmes sont bien échelonnés, simplement mal écrits :
    3x+2y+5z=3
    5x-6y=7
    6x=1
    est en fait
    5z+2y+3x=3
    ...-6y+5x =7
    ..........6x=1

    Cordialement.
  • beubeu29
    beubeu29
    D'accord, merci !

    Encore une dernière chose :-) :

    Si les systèmes :

    3x+2y+5z=3
    5x-6y=7
    6x=1

    et

    5z+2y+3x=3
    -6y+5x =7
    6x=1

    1) ne sont pas équivalents alors on dis qu'ils sont quoi ? identiques ?

    2) et si je transforme ces deux systèmes en matrice , on a pas les mêmes matrices ? ( désolé je ne sais pas faire les grandes accolades)

    (3 2 5 )* (x) = (3)
    ( 5 6 0 ) (y) = (7)
    ( 6 0 0) (z) = (1)

    et

    ( 5 2 3 )* (x) = (3)
    ( 0 -6 5 ) (y) = (7)
    ( 0 0 6 ) (z) = (1)
  • gerard0
    gerard0
    Ben ... les deux systèmes sont parfaitement équivalents !
    Et les matrices sont des outils pour résoudre, pas des traductions parfaites du système. Il n'y a que le système matriciel qui traduit le système d'équations. Écrit correctement, car tu fais une erreur en écrivant 
    ( 5 2 3 ) (x) = (3)
( 0 -6 5)*(y) = (7)
( 0 0 6 ) (z) = (1)
    Ce qui donne 5x+2y+3z = 3 et pas 5z+2y+3x=3 .

    Cordialement.
  • beubeu29
    beubeu29
    Merci pour ta correction mais du coup je ne comprends pourquoi un système équivalent (à un système) n'est pas toujours échelonné.

    Par exemple le système :
    5z+2y+3x = 3
    -6y+5x = 7
    6x = 1
    est échelonné, mais le système :
    5z+2y+3x = 3
    6x = 1
    -6y+5x = 7
    n'est pas échelonné. Pourtant il est équivalent au premier système car on a permuté la ligne 2 avec la ligne 3.
  • gerard0
    gerard0
    Ben ... ça n'a rien à voir "échelonné" concerne la façon de présenter le système. "équivalent" concerne (ici) les solutions (deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions). dans 2+3=3+2 tu ne serais pas surpris parce que l'ordre des entiers change de sens.
  • beubeu29
    beubeu29
    Ok !
    Merci pour ta réponse !!
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