Puissance d'un cycle

mcd · March 2021

$\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}\newcommand{\ppcm}{\mathrm{ppcm}}\newcommand{\pgcd}{\mathrm{pgcd}}$Bonjour,

Soit $c$ un cycle de $\S_{n}$ de longeur $l$, j'aimerais montrer que $c^{m}$ s'écrit en $\mathrm{pgcd}(m,l)$ cycles à support disjoints.

Voyez-vous comment faire ?

mcd · March 2021

J'ai essayé quelque trucs, notamment j'ai de suite pensé au fait que dans $\Z/\ell\Z$ on a $m$ qui est d'ordre $\ell \over \mathrm{pgcd}(m,\ell),$ mais pas sûr que ça aide.

mcd · March 2021

Autre piste si on regarde l'ensemble $\quad
\{c^{mk}(x_{i})\mid k \in \mathbb{N}^{\times}\},$
on trouve $\quad
\{x_{i+km [\ell]}, \mid k \in \mathbb{N}^{\times}\}.
$
Et si on sait donner le cardinal de cet ensemble on n'est pas mal car on aura le nombre d'éléments d'un des cycles.

mcd · March 2021

En fait je crois que je peux donner le cardinal de cet ensemble il s'agit de $\ell \over \pgcd(m,\ell)$ car un isomorphisme de groupe préserve l'ordre.

mcd · March 2021

Bon j'avance.

NoName · March 2021

Hein?
Si $c$ est un cycle de longueur $\ell$, alors $c^m$ itou (sauf pour $\ell \mid m,$ où c'est un cycle de longueur 0).

mcd · March 2021

Ah ben j'ai fini tous les cycles sont de la même longueur. Merci à tous pour votre aide.

mcd · March 2021

@NoName : Un exemple ?

NoName · March 2021

Ah non, mais en effet j'ai dit n'importe quoi. :-D

mcd · March 2021

:-D :)o

Maxtimax · March 2021

1- Soit $c$ un cycle de longueur $\ell$ et $k$ premier avec $\ell$. Alors $c^k$ est aussi un cycle de longueur $\ell$ (Pourquoi ?)

2- Par conséquent, $c^{\frac{m}{\pgcd(m,\ell)}}$ est un cycle de longueur $\ell$, et on peut donc supposer $m\mid \ell$.

3- L'action de $c$ sur son support est transitive, et libre (par définition de support), donc l'action de $\langle c \rangle$ est isomorphe à celle de $\langle c\rangle$ sur lui-même par translation, donc à celle de $\Z/\ell$ sur lui-même par translation. On demande le nombre d'orbites de $m$ dans cette action. Mais les orbites de cette action sont exactement les classes modulo $m\Z/\ell\Z$, il y en a donc exactement l'indice de ce sous-groupes, i.e. $m$, et ils sont de longueur $\frac \ell m$

4- En déroulant notre supposition de 2-, on voit que c'est bien $\pgcd(m,\ell)$

mcd · March 2021

Pour répondre à la question 1, c'est un fait général sur les groupes cycliques ainsi on peut juste regarder le groupe $\Z/n\Z$ on a alors $o(k) = {n \over k\wedge n}$. En effet soit $\ell$ un entier non nul tel que $\ell k = 0[n]$ ssi $ \ell k \in k\Z \cap n\Z = (\ppcm(k,n)\Z$ ssi $ \ell \in { \ppcm(k,n) \over k} \Z$. Et l'ordre étant le plus petit entier naturel non nul tel que $\ell k = 0[n]$ on a $\ell = { \ppcm(k,n) \over k} = {n \over k \wedge n}$.

mcd · March 2021

Pouvez vous m'en dire plus sur le 3 ? Sans évoquer la notion d'isomorphisme d'action s'il vous plait.

Maxtimax · March 2021

Pour la 1-, ça te dit l'ordre de $c^k$, mais ça ne te dit pas pourquoi c'est toujours un cycle.

Pour 3-, ça ne va pas être évident à formuler - en fait le truc c'est que $\mathfrak S_n$ est défini par son action, et la décomposition en cycles aussi, donc compliqué de ne pas parler d'action.

L'idée si tu veux est que $c$ a pour support disons $1,...,\ell$ (on peut le supposer, quitte à conjuguer), et donc $c^k$ va envoyer $1$ sur $k+1$, $2$ sur $k+2$, $3$ sur $k+3$ etc.; donc $c^k$ ne change pas le nombre modulo $k$, et inversement c'est facile de voir que si $a$ est congru à $b$ modulo $k$, alors tu peux itérer $c^k$ suffisamment pour aller de $a$ à $b$.

En d'autres termes, les cycles de $c^k$ sont exactement les classes de congruence modulo $k$ dans $\{1,...,\ell\}$. Si on suppose, comme je l'ai fait, que $k\mid \ell$, il y en a $k$ (de longueur $\frac\ell k$)

Math Coss · March 2021

À propos du 3, tu vois bien que les choses suivantes sont identiques à la notation près, quand on se donne un cycle $c=(i_1i_2\cdots i_\ell)$ :

l'application $c$ sur $\{i_1,i_2,\dots,i_\ell\}$ définie par \[c(i_1)=i_2,\ c(i_2)=i_3,\dots,\ c(i_{\ell-1})=i_\ell,\ c(i_\ell)=i_1\;;\]
la multiplication (i.e. la composition) par $c$ sur le groupe $\langle c\rangle=\{\mathrm{id},c,c^2,\dots,c^{\ell-1}\}$ : \[
c\cdot c=c^2,\ c\cdot c^2=c^3,\dots,\ c\cdot c^{\ell-1}=\mathrm{id},\ c\cdot \mathrm{id}=c\] (note que $\mathrm{id}=c^\ell$) ;
l'addition de $1$ sur $\Z/\ell\Z=\{1,2,\dots,\ell-1,0\}$ : \[
1+1=2,\ 1+2=3,\dots,\ 1+(\ell-1)=0,\ 1+0=1\] (note que $\ell=0$).

mcd · March 2021

Les actions je suis ok je connais c'est les isomorphismes d'action que je ne connais.

mcd · March 2021

Quand vous dites que les classes $k$ sont exactement les $c^{k}$ cela me fait penser à regarder le morphisme de groupe
$$
k \in \Z/\ell\Z \mapsto c^{k} \in \langle c \rangle.

$$ Il est bien défini car $c$ est d'ordre $\ell$.

mcd · March 2021

Pour reprendre vos idées, vous considérer l'action
$$
\langle c \rangle \times S \to S : (c^{k}, x_{i}) \mapsto c^{k}(x_{i}),

$$ avec $S$ le support de $c$. On peut regarder l'orbite de $x_{i}$
$$
O(x_{i}) = \{ x_{i+km [\ell]}\mid k \in \mathbb{N} \}.

$$ Ici on voit le lien avec $\Z/\ell\Z$ ou je pense vous cherchez à m'emmener. On pourrait essayer de calculer le cardinal de cette orbite.

Math Coss · March 2021

L'isomorphisme, c'est une façon de formaliser l'évidence que tout ça c'est pareil. Si on a un groupe $G$ et deux actions $\alpha:G\times X\to X$ et $\alpha':G\times X'\to X'$, un isomorphisme est une bijection de $f:X\to X'$ telle que $\alpha'(g,f(x))=f(\alpha(g,x))$ pour $g\in G$ et $x\in X$ quelconques – ou, si on sous-entend $\alpha$ et $\alpha'$ : \[f(g\cdot x)=g\cdot f(x).\]Ici (avec $G=\Z/\ell\Z$),

la première action est définie sur $X=\{i_1,i_2,\dots,i_{\ell-1},i_\ell\}$ par $\alpha(k,i_j)=i_{j+k}$,
la deuxième action est définie sur $X'=\{c,c^2,\dots,c^{\ell-1},\mathrm{id}\}$ par $\alpha'(k,c^j)=c^{j+k}$ ;
la troisième action est définie sur $X''=\{1,2,\dots,\ell-1,\ell\}$ par $\alpha''(k,j)=k+j$.

Il n'y a pas besoin de beaucoup d'imagination pour définir des isomorphismes d'action \[X''\to X,\ j\mapsto i_j\quad\text{et}\quad X''\to X', \ j\mapsto c^j.\]
NB : On pourrait définir un morphisme d'actions de groupes différents $\alpha:G\times X\to X$ et $\alpha':G'\times X'\to X'$ à partir d'un morpisme $\phi:G\to G'$ et d'une application $f:X\to X'$ par la relation $\alpha'(\phi(g),f(x))=f(\alpha(g,x))$, c'est-à-dire $f(g\cdot x)=\phi(g)\cdot f(x)$.

mcd · March 2021

$\newcommand{\stab}{\mathrm{stab}}$Je regarde alors le stabilisateur
$$
\stab(x_{i}) =\{ c^{k} \mid c^{k}(x_{i}) = x_{i} \},

$$ ce qui ne me dit rien mais on peut le voir autrement aussi, on peut le voir comme les solutions de $km = 0 [\ell]$ intersection $\{0,\ldots,\ell\}$ et le nombre de solutions de ça. Les solutions forment un groupe c'est le noyau d'un morphisme de groupe. Et son image c'est le groupe engendré par $m$ qui est de cardinal l'ordre de $m$ c'est à dire ${\ell \over m \wedge \ell}$ donc le nombre de solutions est $m \wedge \ell$.

Du coup le cardinal de l'orbite c'est ${\ell \over m \wedge \ell}$. Et maintenant combien y a d'orbites ?

mcd · March 2021

@Math Coss : Merci pour l'explication

.

mcd · March 2021

Je vais reprendre mon idée il y a quelques erreurs.

mcd · March 2021

Soit $c$ un cycle de $\S_{n}$ de longeur $\ell$, j'aimerais montrer que $c^{m}$ s'écrit en $\pgcd(m,\ell)$ cycles à support disjoints.

Considérons l'action
$$
\langle c^{m} \rangle \times S \to S : (c^{mk}, x_{i}) \mapsto c^{mk}(x_{i}),

$$ avec $S$ le support de $c$. On peut regarder l'orbite de $x_{i}$
$$
O(x_{i}) = \{ x_{i+km [\ell]}\mid k \in \mathbb{N} \}

$$ L'idée ici est que les orbites vont décrire la décomposition en cycle à support disjoint, il me semble clair que le nombre d'orbites sera le nombre de cycles à support disjoints que l'on cherche.

Je regarde alors le stabilisateur
$$
\stab(x_{i}) =\{ c^{mk} \mid c^{mk}(x_{i}) = x_{i} \}.

$$ On peut le voir comme les solutions de $km = 0 [\ell]$ intersection $\{0,\ldots,\ell\}$. Les solutions forment un groupe c'est le noyau d'un morphisme de groupe. Et son image c'est le groupe engendré par $m$ qui est de cardinal l'ordre de $m$ c'est à dire ${\ell \over m \wedge \ell}$ donc le nombre de solutions est $m \wedge \ell$.

Du coup le cardinal de l'orbite c'est ${\ell \over m \wedge \ell}$. Et maintenant combien y a d'orbites ?

mcd · March 2021

Toute les orbites ont le même cardinal $C$ et il existe une partition du support former d'orbites, c'est le nombre d'orbite $n$. En fait là j'ai un bug du coup parce que le cardinal du support à mon avis ne doit pas intervenir.