Polynôme avec $x^{-1}$ et forme canonique

Au niveau de la terminologie, on trouve parfois "polynôme de Laurent" pour un polynôme faisant intervenir $X$ et $X^{-1}$.

Quant à ta question sur la forme canonique, encore faudrait-il définir ce que c'est. Si tu penses à la forme canonique d'un polynôme du second degré dans le cadre d'une étude dudit polynôme, on peut s'y ramener puisque pour $x \neq 0$, on a $$ax^{-1} + bx + c = x^{-1}(bx^2 + cx + a)$$ et on peut mettre le second facteur sous forme canonique.

Etant donnés $a,b,c$, tu as :
$$
\frac{ax^2+bx+c}{x} = \frac{(2ax+b)^2 - (b^2-4ac)}{4ax},

$$ ce qui peut t'aider à connecter ça à ta culture.

Pour les extremas :
Si tu ne connais pas la dérivation (si tu las connais alors poirot t'a répondu), tu calcules formellement :
$$
\frac{ax^2+bx+c}{x} = ax + b + \frac{c}{x},

$$ en espérant que pour les extremums cette écriture soit plus adaptée (si elle ne l'est pas, ça échouera et la vie sera dure, les maths, c'est ça).
Avec cette écriture, tu obtiens :
$$
a(x+e) + b + \frac{c}{x+e} = ax + b + \frac{c}{x} + [ae + \frac{c}{x+e} - \frac{c}{x}] ,
$$ qui vaut en fait :
$$
ax + b + \frac{c}{x} + [ae - \frac{ce}{x(x+e)}] ,

$$ de sorte que tu peux discuter en quel $x\neq 0$ l'expression
$$
ae - \frac{ce}{x(x+e)}

$$ a une valeur de signe constant quel que soit $e$ superproche de $0$ (extremum local).
Si $x\neq 0$ alors
$$
ae - \frac{ce}{x(x+e)} = e\times (a - \frac{c}{x(x+e)})

$$ donc pour que le signe ne change pas quand tu vas par exemple changer $e$ en $(-e)$ pour $e$ petit, il est nécessaire que :
$$
a = \frac{c}{x^2}

$$ ce qui te laisse très peu de choix pour qui peut bien être $x$.