Un corollaire
Bonjour
J'ai le théorème suivant.
Théorème. (Propriété universelle de l'anneau quotient)
Soit $I$ un idéal bilatère d'un anneau $A$ et $ \pi$ le morphisme canonique : $A \to A/I$ ; alors quels que soient l'anneau $B$ et $f \in Hom(A,B)$ tel que $I \subseteq \ker f$, il existe un unique morphisme $\varphi \in Hom(A/I,B) $ tel que $\quad \varphi \circ \pi = f.$
Puis il y a un corollaire.
Corollaire. Les hypothèses étant celles du théorème ci dessus,
a) $f$ surjectif $\Rightarrow\varphi$ surjectif,
b) $I=\ker f \Rightarrow\varphi$ injectif,
c) $(f \text{ surjectif et } I=\ker f) \Rightarrow\varphi$ isomorphisme.
J'aimerais démontrer l'assertion b) de ce corollaire mais je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
J'ai le théorème suivant.
Théorème. (Propriété universelle de l'anneau quotient)
Soit $I$ un idéal bilatère d'un anneau $A$ et $ \pi$ le morphisme canonique : $A \to A/I$ ; alors quels que soient l'anneau $B$ et $f \in Hom(A,B)$ tel que $I \subseteq \ker f$, il existe un unique morphisme $\varphi \in Hom(A/I,B) $ tel que $\quad \varphi \circ \pi = f.$
Puis il y a un corollaire.
Corollaire. Les hypothèses étant celles du théorème ci dessus,
a) $f$ surjectif $\Rightarrow\varphi$ surjectif,
b) $I=\ker f \Rightarrow\varphi$ injectif,
c) $(f \text{ surjectif et } I=\ker f) \Rightarrow\varphi$ isomorphisme.
J'aimerais démontrer l'assertion b) de ce corollaire mais je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Réponses
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Suppose $\varphi(x) = 0$, écris $x = \pi(a)$, ...
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Excuse-moi Maxtimax mais je ne comprends pas ce que tu veux que je fasse
-
Maxtimax pourquoi je devrais supposer $\varphi$(x) = 0 ?
-
Tu veux montrer que $\varphi$ est injectif, il s'agit donc de prendre $x$ tel que $\varphi(x) = 0$ et de montrer qu'alors, $x=0$
-
On a alors
$\varphi$($\pi$(a))= f(a)=0 -
Donc a $\in$ Ker(f)
-
Si je pouvais montrer qu'on a aussi l'inclusion Ker(f) $\subseteq$ I alors j'aurais a $\in$ I=Ker($\pi$) et donc on aurait
x=$\pi$(a)=0 -
Maxtimax tu peux pas me donner un indice pour montrer que Ker(f) $\subseteq$ I ?
-
Mais c'est facile puisqu'on suppose que I=Ker(f) ,c'est bon,comme I=ker(f) donc a $\in$ I=Ker($\pi$) et donc on a
x=$\pi$(a)=0.C'est bon Maxtimax? -
Exactement, tu as supposé $\ker(f)= I$ donc tu n'as pas à le montrer
-
Pour des raisons d'affichage idéologique personnel, je précise qui est $\phi$ :
$$
\phi = \{(classe_I(x) , f(x)) \mid x\in A\},
$$ où $classe_I(x):=\{x+y\mid y\in I\}$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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