Idéal fractionnaire
dans Algèbre
Bonjour,
Je rencontre la notion d'idéal fractionnaire dans mon cours (pour un anneau intègre $A$, de corps des fractions $K$, c'est un sous-groupe finiment engendré $I$ de $K$ tel que $\forall a \in I, b \in A, ab \in I$).
Par exemple avec $A=\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ et $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, pouvez-vous m'en donner un exemple avec $I$ non inclus dans $A$ (donc un peu moins trivial que $2\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$) ?
Merci d'avance.
Je rencontre la notion d'idéal fractionnaire dans mon cours (pour un anneau intègre $A$, de corps des fractions $K$, c'est un sous-groupe finiment engendré $I$ de $K$ tel que $\forall a \in I, b \in A, ab \in I$).
Par exemple avec $A=\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ et $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, pouvez-vous m'en donner un exemple avec $I$ non inclus dans $A$ (donc un peu moins trivial que $2\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$) ?
Merci d'avance.
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Réponses
Pouvez-vous me donner un exemple d'un idéal fractionnaire inversible non principal ?
En effet, on a défini les idéaux fractionnaires inversibles (les $I$ tels qu'il existe un idéal fractionnaire $J$ tel que $IJ=A$, puis les idéaux fractionnaires principaux (les $I=(x)=xA, x \in K^*$), qui sont tous inversibles : en effet, $(x^{-1})(x)=(1)=A$, donc logiquement il existe des idéaux fractionnaires inversibles non principaux. :-D
Ok pour $d \mathbb Z[\sqrt 5] = \mathbb Z[\sqrt 5]$ avec $d=2+\sqrt 5$ qui est inversible dans $\mathbb Z[\sqrt 5]$, donc $d^{-1} \mathbb Z[\sqrt 5] \subset \mathbb Z[\sqrt 5] \Rightarrow d d^{-1} \mathbb Z[\sqrt 5] = \mathbb Z[\sqrt 5] \subset d \mathbb Z[\sqrt 5]$, et l'autre sens est évident.
Par contre, je ne comprends pas : $(2+\sqrt 5)$ divise $2$, un idéal qui divise un nombre ?
Bon, j'imagine que c'est :
$(2,1+\sqrt{-5})^2=(2,1+\sqrt{-5})(2,1+\sqrt{-5})=(4) + (2+2\sqrt{-5})+(-4+2 \sqrt{-5})=(4)+(2+2\sqrt{-5})+(-4+2 \sqrt{-5})+(2 \sqrt{-5})$
$=(4) + (2)+(2\sqrt{-5})+(2+2 \sqrt{-5})+(-4+2 \sqrt{-5})=(2)$.
Donc si $(2,1+\sqrt{-5})$ était un idéal principal engendré par $a$, on aurait $N(a^2)=N(a)^2=N(2)=4$ (j'improvise, car la norme est toujours supérieure ou égale en valeur absolue à $1$, et c'est un morphisme, donc les normes des générateurs coïncident), donc $N(a)= \pm 2$, et cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}(\sqrt{-5})$ ; en effet l'équation $N(x+y\sqrt{-5})=x^2+5y^2=2$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}$.
Donc $(2,1+\sqrt{-5})$ n'est pas principal.
Quel est alors un idéal inverse de $(2,1+\sqrt{-5})$ ?
Sinon, auriez-vous l'exemple d'un idéal maximal, et d'un idéal premier, disons dans le même anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ non factoriel ?
Bien que $(2,1+\sqrt{-5})$ soit un idéal inversible, car cela ne veut pas dire qu'il contient un élément inversible ? Donc par exemple, $(2)$ n'est pas maximal dans cet anneau, car $(2) \subsetneq (2,1+\sqrt{-5}) \ne \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] $ ?
EDIT : je viens de voir que $(2,1+\sqrt{-5})$ est premier, est-il maximal ?
Merci d'avance.
\Z[\sqrt{-5}]/(2,1+\sqrt{-5})\simeq\Z[X]/(X^2+5,2,X+1)\simeq\Z/2\Z[X]/((X+1)^2,X+1)\simeq\Z/2\Z.\]
Pour trouver son inverse, c'est facile : $(2) = (2, 1+\sqrt{-5})^2$ donc $(2, 1+\sqrt{-5})^{-1} = \left(1, \frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right)$.
Poirot, tous les anneaux d'entiers de corps de nombres sont intègres et leurs idéaux non nuls sont produits d'éléments maximaux, donc ce sont des anneaux de Dedekind, donc tous leurs idéaux premiers sont maximaux ?
En effet pour l'inverse. Finalement, les idéaux fractionnaires marchent comme les rationnels ?
Math Coss, comment démontre-t-on ces isomorphismes ?
- $\Z[\sqrt{-5}]\simeq\Z[X]/(X^2+5)$ ;
- si on a un anneau $A$ et deux idéaux $I$ et $J$, l'idéal $\langle J\rangle_{A/I}$ engendré par l'image de $J$ dans $A/I$ est $(J+I)/I$ et l'on peut faire le quotient en une seule fois en « simplifiant les dénominateurs » : \[\frac{A/I}{\langle J\rangle_{A/I}}=\frac{A/I}{(J+I)/I}\simeq\frac{A}{J+I}.\] (Pour le démontrer, construire un (considérer le) morphisme naturel de $A$ sur l'anneau de gauche et constater que son noyau est $J+I$.)
De là on déduit que quotienter par $I+J$ c'est pareil que quotienter par $I$ puis par (l'image de) $J$. Le jeu, c'est alors d'exploiter la symétrie en $I$ et $J$ pour quotienter d'abord par $J$ (ou un morceau de $J$) puis par $I$ (ou ce qui reste).Pour le premier isomorphisme, par exemple, on prend $I=(X^2+5)$ et $J=(2,X+1)$. Pourquoi choisir ce $J$ ? Parce que dans $A/I$, la racine $\sqrt{-5}$ est l'image de $X$ et qu'on veut remonter $(2,\sqrt{-5}+1)$ dans $\Z[X]$ pour faire le quotient « dans un autre ordre ».
Ici, on va trouver $J$ pour que son image soit $(2,\sqrt{-5}+1)$ puis on quotiente en deux temps : d'abord par $2$ puis par « ce qui reste ». Comme dans « ce qui reste », i.e. dans l'idéal $(X^2+1,X+1)$, on voit $X+1$, cela revient simplement à évaluer les polynômes en $-1$ (avec ici, en plus, $-1=1$ puisqu'à ce stade on est sur $\mathbf{F}_2$).
NB : ces mêmes considérations donnent facilement l'isomorphisme \[\Z[\mathrm{i}]/(p)\simeq\Z[X]/(X^2+1,p)\simeq\mathbf{F}_p[X]/(X^2+1),\] qui montre que $p$ se factorise dans les entiers de Gauss SSI $-1$ est un carré dans $\mathbf{F}_p$.
Finalement, tout parait basé sur l'isomorphisme du corps de rupture appliqué ici à un anneau (si $\alpha$ est une racine du polynôme (irréductible) $f$, alors $\mathbb{Z}[X]/(f) \cong \mathbb{Z}(\alpha)$, ces deux anneaux se trouvant être la plus petite extension de $\mathbb{Z}$ contenant une racine de $f$).
Par ailleurs, je trouve que les isomorphismes donnent des résultats puissants, mais qui se méritent : les démonstrations me paraissent parfois tirées d'un chapeau, et surtout les isomorphismes en question ne me paraissent souvent pas évidents intuitivement de prime abord, mais un peu plus en les décomposant ainsi.
J'espère ne pas avoir dit trop de bêtises.
Or $a^{-1}=\left(1, \frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right)=(1)+(\frac{1+\sqrt{-5}}{2})=(1)$, donc $N(a^{-1})=1$ !
Mon erreur doit être grossière, mais je ne la vois pas. Merci d'avance.
Il me semble qu'il y a un lien pour les idéaux (ordinaires) d'un ordre (ou peut-être d'un anneau, mon cours s'en tient aux ordres) entre idéal maximal et de norme un nombre premier.
J'ai démontré : $a$ idéal ordinaire de norme $N(a)$ un nombre premier $\Rightarrow a$ maximal : est-ce ok ?
Par contre, l'autre sens me parait moins certain : $a$ maximal $\Rightarrow N(a)$ premier ?
Merci d'avance.
- pour $\alpha \in \mathbb{C}$ entier algébrique et $f \in \mathbb{Z}[X]$ polynôme minimal unitaire de $\alpha$ sur $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}[\alpha] \cong \mathbb{Z}[X] / (f)$ (i.e. $f$ polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{Q}$ appartenant à $\mathbb{Z}[X]$ et unitaire),
- le 3ème théorème d'isomorphisme pour les anneaux quotients (celui que tu cites) avec $\pi(J)=(J+I)/I=J(A/I)$,
donc on a bien : $\dfrac{A}{J+I}\simeq\dfrac{A/I}{(J+I)/I}=\dfrac{A/I}{J(A/I)} \simeq \dfrac{A'}{J'A'}$, car $J(A/I)=(J+I)/I$, pour $A' \simeq A/I$ et $J'$ l'image de $J$, donc on peut faire "remonter" $I$ ou $J$ indifféremment, et on peut généraliser à plusieurs idéaux,
- et aussi : $\mathbb{Z}[X] / (n) \cong (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}) [X]$, pour $n \in \mathbb{Z}$,
Tout colle. Merci infiniment (je n'aurais jamais trouvé cela, sinon au bout d'un certain temps...), le mystère des isomorphismes me semble enfin levé !
Oui, ça vient juste de la multiplicativité de la norme et qu'un idéal premier non nul est automatiquement maximal.
Ça c'est faux. Par exemple l'idéal $3\mathbb Z[\sqrt{-1}]$ est premier, de norme $9$. Par contre la norme d'un idéal maximal de l'anneau des entiers de corps de nombres est toujours une puissance d'un nombre premier. Ça vient du fait qu'un tel idéal $\mathfrak p$ est un facteur d'un idéal de la forme $p\mathcal O_K$, où $p$ est un nombre premier (en fait $p$ est caractérisé par $\mathfrak p \cap \mathcal O_K = p\mathbb Z$).
$\mathbb Z[\sqrt{-1}]$ est l'anneau des entiers de $\mathbb Q(i)$, corps de discriminant $-4$. On a : $3$ ne divise pas $-4$ qui n'est pas un carré dans $\mathbb F_3$, donc $3$ est inerte dans $\mathbb Q(i) \Rightarrow (3)$ est maximal dans $\mathbb Z[\sqrt{-1}]$, et sa norme est $N(3)=3^2=9$ (car $3 \in \mathbb Z[\sqrt{-1}]$).
Par ailleurs, si $\mathfrak p$ est maximal, alors $\mathfrak p \cap \mathbb Z = p\mathbb Z$ (il me semble que tu as fait une erreur de frappe), $p$ un nombre premier. On a alors que $(p)=p \mathcal O_K \subset \mathfrak p$ (car $p \in \mathfrak p$), donc $N(\mathfrak p) \mid N(p \mathcal O_K)=N(p)=p^n$, donc $N(\mathfrak p)$ est une puissance d'un nombre premier.
Donc $\mathfrak a$ maximal $\Rightarrow N(\mathfrak a) =$ puissance d'un nombre premier.
Petite question : d'où provient cette écriture en $\mathbb Z[\sqrt{-1}]$ (pourquoi pas $\mathbb Z[ i ]$) ? Cela ne risque-t-il pas d'entraîner des erreurs ?
Je pense que c'est tout simplement l'écriture historique des nombres complexes, la tradition a perpétué cette écriture en théorie des nombres. Je ne vois pas quel genre d'erreur ça pourrait entraîner.