Idéal fractionnaire

Par exemple $\sqrt{5}/2\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.

Globalement tu prends ton ideal (de type fini) de $A$ préféré et tu le divise par un élément qu'il te plaira.

NoName a écrit:

Ou un peu plus complexe dans $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, tu peux prendre $(2/3, (1+\sqrt{-5})/3)$

Ton idéal est $\mathbb Z[\sqrt 5]$ (car $(2+\sqrt 5)(2-\sqrt 5) = -1$) ! Pour un idéal (automatiquement inversible) non principal simple, on peut se placer dans le "plus petit" anneau d'entiers quadratiques imaginaire non principal : $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. Il est bien connu que $(2, 1+\sqrt{-5})$ n'est pas principal (car il divise $2$ mais il n'y a pas d'élément de cet anneau de norme $2$).

Sorry for butting in. Je suppose que le pronom « il » désigne un générateur hypothétique $a$ de $(2,1+\sqrt{-5})$ ($a$ divise $2$ et n'est pas inversible donc $N(a)^2=4$ donc $N(a)=2$ ce qui est impossible).

Un idéal premier non nul dans un anneau de Dedekind comme $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ est toujours maximal. Dans le cas de $(2, 1+\sqrt{-5})$ on peut le voir explicitement comme le montre Math Coss.

Pour trouver son inverse, c'est facile : $(2) = (2, 1+\sqrt{-5})^2$ donc $(2, 1+\sqrt{-5})^{-1} = \left(1, \frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right)$.

C'est un jeu d'écriture fondé sur deux constats simples :

• $\Z[\sqrt{-5}]\simeq\Z[X]/(X^2+5)$ ;
• si on a un anneau $A$ et deux idéaux $I$ et $J$, l'idéal $\langle J\rangle_{A/I}$ engendré par l'image de $J$ dans $A/I$ est $(J+I)/I$ et l'on peut faire le quotient en une seule fois en « simplifiant les dénominateurs » : \[\frac{A/I}{\langle J\rangle_{A/I}}=\frac{A/I}{(J+I)/I}\simeq\frac{A}{J+I}.\] (Pour le démontrer, construire un (considérer le) morphisme naturel de $A$ sur l'anneau de gauche et constater que son noyau est $J+I$.)

De là on déduit que quotienter par $I+J$ c'est pareil que quotienter par $I$ puis par (l'image de) $J$. Le jeu, c'est alors d'exploiter la symétrie en $I$ et $J$ pour quotienter d'abord par $J$ (ou un morceau de $J$) puis par $I$ (ou ce qui reste).

Pour le premier isomorphisme, par exemple, on prend $I=(X^2+5)$ et $J=(2,X+1)$. Pourquoi choisir ce $J$ ? Parce que dans $A/I$, la racine $\sqrt{-5}$ est l'image de $X$ et qu'on veut remonter $(2,\sqrt{-5}+1)$ dans $\Z[X]$ pour faire le quotient « dans un autre ordre ».

Ici, on va trouver $J$ pour que son image soit $(2,\sqrt{-5}+1)$ puis on quotiente en deux temps : d'abord par $2$ puis par « ce qui reste ». Comme dans « ce qui reste », i.e. dans l'idéal $(X^2+1,X+1)$, on voit $X+1$, cela revient simplement à évaluer les polynômes en $-1$ (avec ici, en plus, $-1=1$ puisqu'à ce stade on est sur $\mathbf{F}_2$).

NB : ces mêmes considérations donnent facilement l'isomorphisme \[\Z[\mathrm{i}]/(p)\simeq\Z[X]/(X^2+1,p)\simeq\mathbf{F}_p[X]/(X^2+1),\] qui montre que $p$ se factorise dans les entiers de Gauss SSI $-1$ est un carré dans $\mathbf{F}_p$.