Géométrie anabélienne
dans Algèbre
Bonsoir à tous
Sur le pdf inséré ci-joint, l'auteur affirme que la conjecture des sections de Grothendieck en géométrie anabélienne cherche à établir que l'application $ \kappa \ : \ X(k) \to \mathscr{S}_{ \pi_{1} (X/k) } = H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $ définie par, $ \kappa (a) = [ s_a ] = [ \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} , \overline{a} ) \ ] $, est bijective.
Jusqu'à présent, on sait simplement montrer qu'elle est injective, mais on ne sait pas montrer qu'elle est surjective d'après l'auteur.
Or, il me semble que montrer la surjectivité de cette application est une tache complètement triviale. Pouvez-vous me dire pourquoi la démonstration triviale suivante n'est pas correcte ? La voici.
Soit $ [ s ] \in \mathscr{S}_{ \pi_{1}^{ \mathrm{ét}} ( X / k ) } $.
Alors, $ s $ se met sous la forme, $ s \ : \ \mathrm{Gal}_k \to \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( X , \overline{x} ) $, à, $ \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X}, \overline{x} ) $ - conjugaison près.
D'où, $ s = s_{x} $. C'est-à-dire, $ \exists x \in X(k) $, $ s = \kappa (x) $.
Par conséquent, $ \kappa $ est surjective.
Voilà. Pourquoi c'est faux ?
Merci d'avance.
Sur le pdf inséré ci-joint, l'auteur affirme que la conjecture des sections de Grothendieck en géométrie anabélienne cherche à établir que l'application $ \kappa \ : \ X(k) \to \mathscr{S}_{ \pi_{1} (X/k) } = H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $ définie par, $ \kappa (a) = [ s_a ] = [ \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} , \overline{a} ) \ ] $, est bijective.
Jusqu'à présent, on sait simplement montrer qu'elle est injective, mais on ne sait pas montrer qu'elle est surjective d'après l'auteur.
Or, il me semble que montrer la surjectivité de cette application est une tache complètement triviale. Pouvez-vous me dire pourquoi la démonstration triviale suivante n'est pas correcte ? La voici.
Soit $ [ s ] \in \mathscr{S}_{ \pi_{1}^{ \mathrm{ét}} ( X / k ) } $.
Alors, $ s $ se met sous la forme, $ s \ : \ \mathrm{Gal}_k \to \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( X , \overline{x} ) $, à, $ \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X}, \overline{x} ) $ - conjugaison près.
D'où, $ s = s_{x} $. C'est-à-dire, $ \exists x \in X(k) $, $ s = \kappa (x) $.
Par conséquent, $ \kappa $ est surjective.
Voilà. Pourquoi c'est faux ?
Merci d'avance.
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Réponses
Pourquoi la conjecture des sections de Grothendieck est si importante en géométrie anabélienne ? Quels sont ses domaines d'applications ?
Merci d'avance.
Il a vu "anabélienne", "Galois", "Grothendieck", et il s'est alors dit que c'était une nouvelle occasion de briller sur ce forum !
Je n'ai pas souvenir de l'avoir vu initier un fil sur les chtoucas de Drinfeld, mais cela ne saurait tarder !
Tu dis d'où $s = s_x$ et tu ne dis pas qui est $x$ ? Est-ce que pour toi il y a un lien entre ton $x$ et $\overline{x}$ ?
Quand j’étais bibliothécaire dans une bibliothèque de recherche, avec un collègue stagiaire, on s’amusait à classer les titres d’articles en fonctions de leur degré de barbarie technique (mais la plupart du temps, on travaillait !).
Le vainqueur a été: $\textbf{« On the b-pseudo-differential calculus on Galois coverings and a higher Atiyah-Patodi-Singer index theorem »}$ .
Tout juste devant $\textbf{Représentations supercuspidales des groupes métaplectiques sur Gl(2) et leurs caractères} »$.
Je ne suis pas sûr mais je crois avoir lu, il y a quelques années, qu’il y avait tout au plus cinq spécialistes dans le monde capables de comprendre la géométrie anabélienne.
...
@flipflop,
C'est ce que je n'arrive pas à comprendre.
Quelle est la différence entre $ x \in X(k) = \mathrm{Hom} ( \mathrm{Spec} (k) , X ) $ et $ \overline{x} \in \overline{X} = X \times_k k^{ \mathrm{sep} } $ ?
Merci d'avance.
Je n'ai pas compris au début ce que tu voulais me dire Lupulus en évoquant la théorie inter-universelle de Teichmüller. Je viens de chercher cette expression sur le net tout à l'heure, et c'est effectivement de la géométrie anabélienne. Désolé de ne pas t'avoir répondu au début. :-)
Soeint $ X $ une $ k $ - variété algébrique.
Quelle est la différence entre $ X $ et $ \overline{X} = X \times_k k^{ \mathrm{sep} } $ ?
Je sais que $ \overline{X} = X \times_k k^{ \mathrm{sep} } $ est le changement de base de $ X $ de $ k $ dans $ k^{ \mathbb{sep} } $, mais, je ne sais pas comment il est construit. Si vous pouvez m'expliquer comment est construit cet objet, je vous serai très reconnaissant.
Merci d'avance.
Edit,
La réponse se trouve ici, http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints , page, $ 32 $.
J'avais lu il y a quelques jours, quelques part sur le net, que si $ X $ est une variété projective ( ou affine, je ne sais pas ) de dimension quelconque, sur un corps ( $ \mathbb{C} $ peut être ), alors, si on réduit $ X $ modulo $ p $ avec $ p $ un nombre premier, alors $ X $ devient une courbe. Où est ce que je peux trouver plus d'informations sur cette méthode de réduction d'une variété modulo un nombre premier $ p $ ?
Merci d'avance.
L'idée est que, si $ X \to S $ est un morphisme de schémas de dimension relative : $ r = \mathrm{dim} \ X - \mathrm{dim} \ S = n - s = \mathrm{dim} \ X_{ \displaystyle s } $ ( i.e : $ X $ est une variété de dimension $ n $ qui peut être vue comme une famille de variétés $ X = ( X_{ \displaystyle s } )_{ \displaystyle s \in S } $ indexée par une variété $ S $ de dimension $ s $ ), alors, chaque fibre $ X_{ \displaystyle s } $, qui est une sous variété de $ X $ de dimension $ r < n $, est une réduction de la variété $ X $, modulo la variété $ S $.
Elle induit donc, la suite exacte longue de cohomologie suivante, $$ 0 \to \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} )^{ \mathrm{Gal}_{ \displaystyle k} } \to \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( X , \overline{x} )^{ \mathrm{Gal}_{ \displaystyle k} } \to \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal}_{ \displaystyle k} } \to H^1 ( \mathrm{Gal}_{ \displaystyle k } , \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) \to \dots $$ C'est à dire, $$ 0 \to \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \to \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( X , \overline{x} )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \to \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \to H^1 ( \mathrm{Gal}_{ \displaystyle k } , \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) \to \dots $$ Ce qui signifie probablement que l'application profinie de Kummer citée plus haut, qui est, $$ \kappa \ : \ X(k) \to \mathscr{S}_{ \pi_{1} (X/k) } = H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $$ s'identifie au $ \delta $ - morphisme de connexion $$ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \to H^1 ( \mathrm{Gal}_{ \displaystyle k } , \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $$ figurant dans la suite exacte longue de cohomologie, ci dessus.
Donc, probablement, $$ X(k) \simeq \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } $$
Qu'est ce que l'objet, $ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } $ ? Peut-t-on le simplifier davantage ?
On dispose de deux morphismes,
- L'application profinie de Kummer, $$ \kappa \ : \ X(k) \to \mathscr{S}_{ \pi_{1} (X/k) } = H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $$
- Le $ \delta $ - morphisme de connexion, $$ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \to H^1 ( \mathrm{Gal}_{ \displaystyle k } , \pi_{1}^{ \mathrm{ét} } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $$.
Leur produit est, le morphisme $$ \rho \ : \ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \times X(k) \to H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) \times H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) \to H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $$.
Pour montrer que, $ X(k) \simeq H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $, il suffit de montrer que le produit, $$ \rho \ : \ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \times X(k) \to H^{1} ( \mathrm{Gal}_k , \pi_{1}^{ ét } ( \overline{X} , \overline{x} ) ) $$ s'identifie à une action du groupe, à déterminer , $ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } $ sur l'ensemble $ X(k) $ qui est $$ \tau \ : \ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k )^{ \mathrm{Gal} ( k^{ \mathrm{sep} } / k ) } \times X(k) \to X(k) $$
... et ainsi achever la démonstration de la conjecture des sections de Grothendieck. :-)
Merci. :-)