Transposition, endomorphisme symétrique

Je ne sais pas si la réponse suivante vas te satisfaire. Mais sait-on jamais.

Quand on a un espace vectoriel $E$ et un endomorphisme $f$, $f$ induit un endomorphisme du dual $E^*$ par $\varphi \mapsto \varphi \circ f$, endomorphisme noté ${}^t f$ et appelé transposé de $f$. D'un autre côté, si $f$ est euclidien $E$ s'identifie à $E^*$ par $v\mapsto \varphi_v$, où $\varphi_v (u)=\langle u,v\rangle$. L'endomorphisme transposé vérifie
$$
{}^t f (\varphi_v) (u) =\langle f(u),v\rangle = \langle u,f^* (v)\rangle = \varphi_{f^* (v)}(u)\ ,
$$
avec les quantificateurs là où il faut. En d'autres termes, si l'on confond $E$ et $E^*$ via l'identification ci-dessus, ${}^t f$ correspond à $f^*$, l'adjoint de $E$. Donc demander qu'un endomorphisme est symétrique revient à demander que ${}^t f=f$ dans l'identification $E=E^*$.

Je suis béotien en algèbre linéaire, et je ne sais pas si ça peut t'aider, mais je crois ressentir ton désir. Le calcul
$$
(PAP')^t = P'^t A^t P^t = P'^t A P^t = P A P'

$$ montre*** qu'il y a quelque chose "d'un peu profond" au sens où si tu changes de bases orthonormées tu passes d'une symétrique à une autre symétrique.

Sauf que tout ça s'obtient A PARTIR d'un truc qui est donné gratuitement, le produit scalaire USUEL. Les angles droits n'existent pas en maths, ils n'existent qu'en physique et on a pu les isomorpher mathématiquement. Mais étant donné un ev de dimension $n$, tu peux chercher longtemps, tu ne trouvera pas de "produit scalaire dessus", ni même d'ensembles de produits scalaires compatibles entre eux.

Autrement dit, "être symétrique" n'a pas de sens autre que "être diagonalisable" dans l'absolu (ce qui est déjà pas mal ne t'inquiète pas, surtout au dessus de $\R$) mathématique.

Les matrices $X$ telles que $X' = X^t$ (base canonique de $\R^n$ et produit scalaire USUEL donnés!) sont celles qui en termes de dessins conservent les hypersphères (en dim2 les cercles) et leurs tailles

Hélas la conservation des elllpses est donnée par toutes les bijections linéaires (ainsi que la conservation des paraboles). Et puis de toute façon, les symétriques (pour le PS usuel) ne sont pas les isométries mais les "je ne sais pas quoi" invariantes par changement de bases obtenu via matrice de passage isométrique, donc bof.

Ca te donne un truc du genre "je suis symétrique quand n'importe quel changement de base obtenu juste par déplacement me laisse encore symétrique" ce qui est hélas bouclant comme notion.

Après, tu peux peut-être essayer de la chirurgie.

- Le produit scalaire usuel est donnée par $(X,Y)\mapsto X^t\times Y$
- La case $(i,j)$ de $AB$ est donnée par le produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$

Bof, mais même là, je ne vois pas a priori d'intrinsèque. En termes photographiques, et dans $\R^2$, on obtient toutes les symétriques en tournant une photo puis en appliquant des facteurs pas forcément égaux d'agrandissement pour l'horizontale et la verticale, on voit bien que c'est bof bof.
Bon, je formalise tout de même ta question pour le produit scalaire usuel, vue qu'elle est vague, en question précise (une version possible comblant tes désirs). Je note $T$ l'ensemble des $f$ symétriques pour le PS usuel.

Existe-t-il un ensemble $L$ de parties de $\R^n$ tel que (1) et (2) ci-dessous:

(1) $\forall f\in T\forall X\in L: \{f(u)\mid u\in X\}\in L$

(2) Pour tout $f\in GL_n(\R)$ si $\forall X\in L: \{f(u)\mid u\in X\}\in L$ alors $f\in T$

Merci pour ta demande.
*** j'ai noté $X'$ pour dire "inverse de $X$"

20100N a écrit:

pourquoi (A,B)->Tr(ABt) est un produit scalaire ? pourquoi (AB)t=BtAt ? ... Pour moi ces résultats ne représentent rien

Tu veux dire que tu ne sais pas démontrer ces résultats ou que tu ne sais pas te les représenter géométriquement ?

Parce que si tu n'arrives pas à te les représenter géométriquement, alors on est deux. Mais en ce qui me concerne ça ne me pose pas de problème, je crois que l'intuition que l'on développe en algèbre n'est pas toujours de nature "géométrique" en se représentant les objets mathématiques par des "formes".

Un endomorphisme symetrique c'est la donnee d'un repere orthonorme de l'espace euclidien $E$ et d'une matrice representative de cet endomorphisme dans cette base qui soit diagonale. En gros $\mathbb{O}(E) \times \R^n.$

@CC je ne comprends pas ta question bleue. Tu es sûr qu'il n'y a pas de coquille?

J'avais mal lu^^

Je ne crois pas...
Car il me semble que pour tout M inversible symetrique et toute permutation P (disons symetrique) , alors , par la première condition, PMP(L)= L et donc MP(L)=P(L)=L , mais comme on peut prendre M et P de sorte que MP n'est pas symetrique on a pas la condition 2

Ou plus rapidement L est invariant par toute transposition (car une transposition est symetrique) et donc par toute permutation (car produit de transpositions) ce qui contredit la deuxième condition.

Edit : en fait il suffit de dire que les symetriques inversibles ne sont pas un sous groupe de GLn

Moi-même j'ai "senti" la recherche d'intrinsèquerie de l'auteur du fil, et ai essayé de proser dessus. Qu'y a-t-il de "profond" dans cette propriété des symétriques sur $\R$ (dans la base canonique)? That is the big Kouestionn.