Système fondamental d'idempotents orthogonaux

Bonjour,
Dans mon cours sur les anneaux à un moment j'ai la remarque suivante.

Dès qu'un anneau $A$ contient un système fondamental d'idempotents orthogonaux ${e_{1},\ldots,e_{n}}$,avec $n\geq2$, alors $A$ n'est pas intègre.

J'aimerais obtenir une preuve de cette remarque mais je ne sais pas comment faire.

Je rappelle la définition d'un système fondamental d'idempotents orthogonaux.
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit qu'une famille ${e_{1},\ldots,e_{n}}$ d'éléments de $A$ constitue un système fondamental d'idempotents orthogonaux lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées :
1) $e_{i}\ne 0_{A},$ pour tout $i=1,\dots,n$
2) $e_{i}e_{j}= 0_{A},$ quels que soient $i,j=1,\ldots,n,\ i \ne j$,
3) $\sum_{i=1}^n e_{i} = 1_{A}.$
Cela implique la propriété d'idempotence des $e_{i}$ :
4) $e_{i}^{2} = e_{i}$, quel que soit $i$ (idempotence).

Merci d'avance.