Isomorphisme entre (R, +) et (C, +)

valentindusollier · March 2021

Bonjour
Y a-t-il un isomorphisme de groupe additif entre (R, +) et (C, +) ?
Merci d'avance

Poirot · March 2021

Oui, il y a même un isomorphisme entre $\mathbb Q$-espaces vectoriels car ceux-ci ont même dimension sur $\mathbb Q$ pour des raisons de cardinalité (attention, j'utilise l'axiome du choix).

valentindusollier · March 2021

Merci pour votre réponse,

Vous utilisez l’axiome du choix même pour le simple morphisme additif ?
Pourriez-vous un peu développer ?

(Excusez moi, j'avais mal lu, vous aviez répondu)

Poirot · March 2021

Je peux tout de même développer : l'axiome du choix est utilisé pour affirmer l'existence d'une base de $\mathbb R$ et d'une base de $\mathbb C$ en tant que $\mathbb Q$-espaces vectoriels. Deux telles bases ont même cardinal car si $I$ est un ensemble d'indice pour une telle base, on obtient que $2^{\aleph_0} = |\mathbb R| = |\mathbb C| = |\mathcal P_f(I)| \times |\mathbb Q|$, où $\mathcal P_f(I)$ est l'ensemble des parties finies de $I$, qui a même cardinal que $I$ puisque $I$ est infini. On en déduit que $|I|=2^{\aleph_0}$ par les propriétés usuelles de l'arithmétique des cardinaux infinis.

Chaurien · March 2021

Ce qui est amusant dans cette affaire, c'est que tout groupe additif qui est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel, et qui est équipotent à $\mathbb{R}$, est isomorphe au groupe additif $\mathbb{R}$. Et il y en a une foultitude dans les usuels :
- l'ensemble $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$ des suites rationnelles ;
- les ensembles $\mathbb{R}^{n}$, pour $n\in \mathbb{N}^{*}$ ;
- l'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles ;
- les ensembles $\mathbb{R}_{n}[X]$ des polynômes à une indéterminée, à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à $n$, pour chaque $n\in \mathbb{N}$ ;
- l'ensemble $\mathbb{R}[X]$ des polynômes à une indéterminée, à coefficients réels ;
- l'ensemble $\mathbb{R}(X)$ des fractions rationnelles à une indéterminée, à coefficients réels ;
- l'ensemble $\mathbb{R}X$ des séries entières formelles à une indéterminée, à coefficients réels ;
- l'ensemble $\mathcal{C}^{0}(I,\mathbb{R})$ des fonctions continues sur un intervalle (non trivial) $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles ;
- l'ensemble $\mathcal{C}^{k}(I,\mathbb{R})$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^{k}$ sur un intervalle (non trivial) $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles, pour chaque $k\in \mathbb{N}$ ;
- l'ensemble $\mathcal{C}^{\infty }(I,\mathbb{R})$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty }$ sur un intervalle (non trivial) $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles.
Et d'autres sans doute, déjà en remplaçant $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$.
Malheureusement, je n'ai pas l'impression que toutes ces étranges propriétés aient un véritable intérêt, autre que de curiosité.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

AlainLyon · March 2021

Si on a le théorème il existe .... un isomorphisme de groupe additif entre $(\mathbb{C},+)$ et
$(\mathbb{R},+)$ avec l'axiome du choix sans qu'il existe d'algorithme construisant un exemple alors il me semble que le le théorème il n'existe pas...d'isomorphisme de groupe additif entre $(\mathbb{C},+)$ et $(\mathbb{R},+)$ et aussi vrai. Ma position philosophique est que toute démonstration utilisant l'axiome du choix est une ligne de séparation entre philosophie intuitionniste et philosophie constructiviste et doit être accompagnée d'un algorithme donnant un exemple pour trouver l'accord entre les deux écoles.

Dom · March 2021

Je ne maîtrise pas l’axiome du choix (noté AC).

Cependant, si on démontre un théorème (T) qui le nécessite, le théorème est vrai en supposant AC .

Par contre je ne vois pas comment sans l’utiliser on peut démontrer qu’alors (nonT).

Autrement dit :
« Je n’arrive pas à démontrer T sans AC n’implique pas j'ai démontré non T ».

Mais il peut me manquer un élément de logique. Je ne suis pas très au fait...

Chaurien · March 2021

Oui, AlainLyon. Chaque fois qu'on évoque l’axiome du choix, on a un Gardien de l'Orthodoxie Logique qui nous fait les gros yeux. Maintenant je n'ai pas compris la phrase « toute démonstration utilisant l'axiome du choix est une ligne de séparation entre philosophie intuitionniste et philosophie constructiviste ». Je croyais qu' intuitionnisme et constructivisme c'était la même chose, mais je ne serais pas surpris de me tromper.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Poirot · March 2021

Je crois qu'il y a des nuances entre intuitionnisme et constructivisme, mais ce n'est pas très important ici.

Il se pourrait très bien que le résultat dont il est question ici soit tout de même vrai dans $\mathsf{ZF}$. Il me semble qu'en l'occurrence non, mais je n'ai pas de référence immédiatement.