Valeurs propres et sous-variétés

Pablo_de_retour · March 2021

Bonsoir à tous

Soit $ f \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ un endomorphisme réel.
Si je ne m'abuse, il existe une fonction $ \varphi \ : \ M \to N $ entre deux variétés différentielles $ M $ et $ N $ de dimension $ 3 $ respectivement telle que l'application tangent $ T_a \varphi \ : \ T_a M \to T_{ \varphi (a) } N $, de $ \varphi $ en un point $ a \in M $ vérifie, $ T_a \varphi = f $.

Si nous supposons $ f $ diagonalisable, de valeurs propres, $ \lambda_1 , \lambda_2 $ et $ \lambda_3 $, comment vérifier qu'il existe trois sous-variétés de $ M $ contenant $ a $, qu'on notera respectivement $ V_{1} , V_2 $ et $ V_3 $ telles que, pour tout $ i = 1 , 2 , 3 $, $$ \lambda_i = \displaystyle \int_{ V_{ \displaystyle i} } \varphi \qquad ?

$$ Merci d'avance.

Math Coss · March 2021

Est-ce qu'on est autorisé à prendre $M=\R^3=N$ et $\varphi=f$ ? Quel intérêt alors ? Sinon, comment identifier l'espace tangent à $M$ et $\R^3$ ?

L'intégrale d'une fonction à valeur dans $N$, variété de dimension $3$, est un nombre réel ? Quel sens alors ?

Pablo_de_retour · March 2021

Math Coss a écrit:

Est-ce qu'on est autorisé à prendre $M=\R^3=N$ et $\varphi=f$ ? Quel intérêt alors ? Sinon, comment identifier l'espace tangent à $M$ et $\R^3$ ?

Oui, on est autorisé à prendre $M=\R^3=N$ et $\varphi=f$, c'est juste un cas particulier parmi un infinité d'exemples.
$ T_a \mathbb{R}^3 = \mathbb{R}^3 $, où $ a \in \mathbb{R}^3 $.

Math Coss a écrit:

L'intégrale d'une fonction à valeur dans $N$, variété de dimension $3$, est un nombre réel ? Quel sens alors ?

Pardon, je corrige,
Pour tout $ i = 1 , 2 , 3 $, $$ \lambda_i = \displaystyle \int_{ \displaystyle h (U) } \varphi_{ \displaystyle i} \qquad ? $$ où, $ ( \varphi_{ \displaystyle 1} , \varphi_{ \displaystyle 2} , \varphi_{ \displaystyle 3} ) = g \circ \varphi \circ h^{-1} $, où $ h \ : \ U \subset M \to h(U) \subset \mathbb{R}^3 $ est une carte locale de $ M $ au voisinage de $ a $, et $ g \ : \ V \subset N \to g(V) \subset \mathbb{R}^3 $ est une carte locale de $ N $ au voisinage de $ \varphi ( a ) $.

Edit,
J'aimerais aussi savoir si les $ h (U) $ est unique ( à homéomorphisme près ).

Pablo_de_retour · March 2021

Je reprends.
Si nous supposons $ f $ diagonalisable, de valeurs propres, $ \lambda_1 , \lambda_2 $ et $ \lambda_3 $, comment vérifier qu'il existe $ h \ : \ U \subset M \to h(U) \subset \mathbb{R}^3 $ une carte locale de $ M $ au voisinage de $ a $, et $ g \ : \ V \subset N \to g(V) \subset \mathbb{R}^3 $ une carte locale de $ N $ au voisinage de $ \varphi ( a ) $, telles que, $ g \circ \varphi \circ h^{-1} = ( \varphi_{ 1} , \varphi_{ 2} , \varphi_{ 3} ) \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ et que, pour tout $ i = 1 , 2 , 3 $, $$ \lambda_i = \displaystyle \int_{ \displaystyle h (U) } \varphi_{ \displaystyle i} \qquad ?

$$ Edit,
J'aimerais aussi savoir si $ h (U) $ est unique ( à homéomorphisme près ).

Pablo_de_retour · March 2021

Je corrige,
Soit $ f \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ un endomorphisme réel.
Si je ne m'abuse, il existe une fonction $ \varphi \ : \ M \to N $ entre deux variétés différentielles $ M $ et $ N $ de dimension $ 3 $ respectivement telle que l'application tangent $ T_a \varphi \ : \ T_a M \to T_{ \varphi (a) } N $, de $ \varphi $ en un point $ a \in M $ vérifie, $ T_a \varphi = f $.
Si nous supposons $ f $ diagonalisable, de valeurs propres, $ \lambda_1 , \lambda_2 $ et $ \lambda_3 $, comment vérifier qu'il existe $ g \ : \ V \subset N \to g(V) \subset \mathbb{R}^3 $ une carte locale de $ N $ au voisinage de $ \varphi ( a ) $, telles que, $ g \circ \varphi = ( \varphi_{ 1} , \varphi_{ 2} , \varphi_{ 3} ) \ : \ M \to \mathbb{R}^3 $ et que, pour tout $ i = 1 , 2 , 3 $, $$ \lambda_i = \displaystyle \int_{ M } \varphi_{ \displaystyle i} \qquad ? $$ Est ce que la carte $ g \ : \ V \subset N \to g(V) \subset \mathbb{R}^3 $ vérifiant ces conditions, est unique ?
Merci d'avance.

Pablo_de_retour · March 2021

Il y a un théorème qui dit,

Si $ M $ est une variété $ \mathcal{C}^{ \infty } $ compacte connexe orientée de dimension $ n \geq 1 $, alors l'application $ \displaystyle \int_M \ : \ H^n (M , \mathbb{R} ) \to \mathbb{R} $ définie par, $ [ \omega ] \to \displaystyle \int_M \omega $ est un isomorphisme linéaire.

Alors, puisque, $ \lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3 \in \mathbb{R} $, par l'isomorphisme, $ \displaystyle \int_M \ : \ H^3 (M , \mathbb{R} ) \to \mathbb{R} $, il existe $ ( \varphi_{ 1} , \varphi_{ 2} , \varphi_{ 3} ) \ : \ M \to \mathbb{R}^3 $ telles que, pour tout $ i = 1 , 2 , 3 $, $$ \lambda_i = \displaystyle \int_{ M } \varphi_{ \displaystyle i} \qquad ? $$ et $ ( \varphi_{ 1} , \varphi_{ 2} , \varphi_{ 3} ) $ est donc unique.

Il reste à établir qu'il existe $ g \ : \ V \subset N \to g(V) \subset \mathbb{R}^3 $ une carte locale de $ N $ au voisinage de $ \varphi ( a ) $, telles que, $ g \circ \varphi = ( \varphi_{ 1} , \varphi_{ 2} , \varphi_{ 3} ) \ : \ M \to \mathbb{R}^3 $.

Comment donc établir qu'il existe $ g \ : \ V \subset N \to g(V) \subset \mathbb{R}^3 $ une carte locale de $ N $ au voisinage de $ \varphi ( a ) $, telles que, $ g \circ \varphi = ( \varphi_{ 1} , \varphi_{ 2} , \varphi_{ 3} ) \ : \ M \to \mathbb{R}^3 $ ?

Merci d'avance.

Pablo_de_retour · March 2021

J'ai oublié de vous demander que le triplet de fonctions $ ( \varphi_1 , \varphi_2 , \varphi_3 ) $ que je cherche à établir l'existence, qui sont soumis à ces conditions citées dans les messages précédents, sont $ \mathbb{R} $ - linéairement indépendants. Est ce qu'il existe ?
Merci pour votre aide.