Un morphisme

Ça m'a l'air ok mais tu passes le point clé sous silence, qui est caché dans les cas où $f\in\mathrm{Is}^-(C)$, à savoir que $s_O$ est central dans $\mathrm{Is}(C)$, ce qui permet de « passer les $s_O$ éventuels à droite ».

Le point $O$ est fixe par toute isométrie du cube (pourquoi ?).
Cela veut dire qu'on peut identifier les applications affines que sont les isométries du cube à des applications linéaires. Or l'application linéaire associée à $s_O$ est... quoi, au fait ?

De façon plus terre à terre, $s_O$ envoie un sommet du cube sur le somme opposé. Il s'agit donc de montrer que le sommet opposé à l'image d'un sommet est l'image du sommet opposé. Ça a l'air accessible, par exemple en caractérisant le sommet opposé par une condition de distance (distance qui restera inchangée par l'application d'une isométrie du cube).

Cuba a écrit:

Dois-je comprendre qu'on "vectorialise" notre espace affine en choisissant $O$ pour origine ?

Précisément. Je n'osais pas écrire de gros mots à cette heure.
Vectorialiser, c'est écrire la bijection donnée par les axiomes d'espace affine chaque fois que l'on fixe un point, ici $O$ : à tout point $M$ de l'espace affine on associe le vecteur $\vec{OM}$. Dans ces termes, les applications affines qui fixe $O$ correspondent aux applications linéaires de l'espace vectoriel.
De façon plus concrète, on choisit simplement un repère avec l'origine en $O$. Les isométries sont affines donc en coordonnées, elles sont de la forme $\R^3\to\R^3$, $X\mapsto AX+B$. Vu que $O$ est fixe, $B=0$. Ainsi, dans tout repère d'origine $O$, toute isométrie du cube est déterminée, en coordonnées, de la forme $f_A:X\mapsto AX$. Comme la symétrie de centre $O$ correspond à l'application $X\mapsto -X$, elle commute avec $f_A$, vu que cette dernière est linéaire.

Pour la suite, en effet, dans un cube de côté $a$, les paires de points opposées (les diagonales quoi) sont les seules paires de points à distance $a\sqrt3$ (modulo erreur de calcul de ma part). La fin est plus discutable : une isométrie $f$ ne conserve pas nécessairement une diagonale (elle permute les diagonales) donc la phrase « soit elle échange les extrémités de la diagonale, soit pas » n'a pas trop de sens.
Ce qui se passe c'est que si on se donne une isométrie $f$ et un sommet $M$, si on note $N=s_O(M)$ le sommet opposé à $M$, alors $f(N)$ est l'unique point à distance $a\sqrt3$ de $f(M)$, c'est-à-dire le sommet opposé à $f(M)$. Autrement dit, $f(s_O(M))=f(N)=s_O(f(M))$, ce qu'on voulait.