$\mathbb{F}_1$ et coïncidences combinatoires

Bonjour,

je suis en train de faire un DM où il faut compter des trucs. Je trouvais ça rigolo de leur faire compter des trucs sur des corps finis. Je me souvenais qu'en "faisant tendre" le nombre d'éléments du corps vers $1$, ça donnait des trucs amusants : le nombre de sous-espaces de dimension $k$ d'un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{F}_q$, ça tend vers $C^k_n$ quand $q$ tend vers $1$, soit... le nombre de parties à $k$ éléments de $\{1,\cdots,n\}$.

Des personnes très savantes parlent de "corps à un élément" et ça a l'air d'être un sujet très compliqué.

Je me disais qu'il devait y avoir une autre coïncidence numérique de ce style, alors j'ai fait le calcul suivant : soit $V$ un $\mathbb{F}_q$-espace vectoriel de dimension $n$.

Je m'attendais à ce que, si $q = 1$ et, comme, dans la "philosophie de $\mathbb{F}_1$", $V$ s'identifie à $\{1,\cdots,n\}$, $GL(V)$ soit l'ensemble des bijections de $\{1,\cdots,n\}$ et $End(V) \setminus \{0\}$ soit l'ensemble des applications de $\{1,\cdots,n\}$ dans lui-même. On a bien que $\vert GL(V) \vert = n!(q-1) + o(q-1)$ (si je ne me suis pas trompé dans le calcul) EDIT : Formule pas bonne ! C'est plutôt $n!(q-1)^n + o((q-1)^n)$. Par contre, $\vert End(V) \vert = n^2(q-1) + o(q-1)$ et non, comme je l'espérais, $n^n(q-1) + o(q-1)$.

Est-ce que mes espoirs étaient complètement idiots ? Est-ce que j'ai cru au Père Noël ? Est-ce que c'est autre chose que $End(V)\setminus \{0\}$ qui est censé jouer le rôle de l'ensemble des applications ?

EDIT : J'ai rajouté un truc en gras. Si je décide de troquer $End(V) \setminus \{0\}$ pour $E := \{M \in M_n(\mathbb{F}_q) \ \vert \ \forall i\in \{1,\cdots,n\},\ C_i(M) \neq 0\}$, alors $\vert E \vert = (q^n - 1)^n = n^n (q-1)^n + o((q-1)^n)$ et ça marche : quand $q$ tend vers $1$, $\frac{\vert GL(V)}{\vert E \vert}$ tend bien vers $\frac{n!}{n^n}$.
Bon, ce choix est à moitié dicté par un argument "philosophique" (si $C_i(M)$ est le vecteur nul, c'est que $M$ est "une application non définie en $i$"), et à moitié pour que la formule soit vraie :-D

EDIT 2 : Je détaille les calculs.

On a $\vert GL(V) \vert = \prod^{n-1}_{i=0} (q^n - q^i)$ d'après le poly de Héhéhé. Si on pose $q = 1+h$, alors on a $q^n- q^i = (1+h)^n - (1+h)^i = 1 +nh + o(h) - (1+i h + o(h)) = (n-i)h + o(h)$, donc $\vert GL(V) \vert = \prod^{n-1}_{i=0} ((n-i)h + o(h)) = n!h^n + o(h^n)$.

Pour l'autre, $\vert E \vert = (q^n - 1)^n$ (chaque colonne doit être non nulle), et donc, toujours avec $q = 1+h$, $\vert E \vert = ((1+h)^n-1)^n = (1+nh + o(h) - 1)^n = (nh + o(h))^n = n^nh^n + o(h^n)$.