Ça ressemble à un changement de base, mais le problème est que dans le cours que j'ai étudié le changement de base n'a été abordé que matriciellement.
L'endomorphisme canoniquement associé à une matrice de passage est l'identité.
Soient $B$ et $B_E$ deux bases. Et $A'=Mat_{B_E} (f)$ et $A=Mat_{B} (D)$
On a $A'= P^{-1} A P$ avec $P=Mat_{B}^{B_E}$
On a donc $f= \psi ^{-1} D \psi$
Il me reste une question pourquoi $\psi$ est unique ?
Tu n'as donc toujours pas compris qu'une application linéaire était uniquement déterminée par sa valeur prise sur une base ... Fais gaffe, quand tu donneras des khôlles, même en début de sup, ça va finir par se voir que tu n'as pas le niveau.
Oshine : il y a un théorème dans le cours de MPSI (et de PCSI) qui affirme :Si $B=(b_1,\dots,b_n)$ est une base de $E$ et $Y=(y_1,\dots,y_n)$ une famille de vecteurs de $F$ alors il existe une unique application linéaire $u$ de $E$ dans $F$ telle que $\forall i\in\{1,\dots,n\}, u(b_i)=y_i$.
Bon, ben, c'est une application immédiate de ce théorème.
Soit $w$ un vecteur et des $x_i$ tels que $w= \sum_i \ x_ie_i$. Alors
$$ u(w) = \sum_i\ x_i Toto_i = v(w)$$^
Tu ne veux toujours pas changer de méthodologie? Tu poses des questions GENERALES alors qu'un approfondissement naturel et de quelques secondes t'amènerait à poser les mêmes questions de fond, mais précisées.
Ici, ta "vraie" question** était "qu'est-ce qu'une base, précisément?"
Et tu ne l'as pas posée.
** comme beaucoup de gens, il se peut que ton cerveau ait enregistré que c'est un ensemble de vecteurs et non une famille (à tort), mais ta méthodologie t'empêche l'accès à ces progrès, car tu espères compenser l'imprécis et le vague à coups de répétition de 1000 exos brutaux par an. Tu régresses
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
$\psi : E \longrightarrow \K_{n-1}[X] \\ \ \ \ \ x \mapsto x$ où $B=(e_1, \cdots, e_n)$ est la base canonique de $\K_{n-1} [X]$ et $B_E =(f_1, \cdots, f_n)$ une base de $E$.
On a $\psi(f_1)=e_1$ etc $\psi(f_n)=e_n$
$\psi$ est l'application canoniquement associé à la matrice de passage $P_{B}^{B_E}$
Réponses
Et cette formule ne te dit rien ?
Ça ressemble à un changement de base, mais le problème est que dans le cours que j'ai étudié le changement de base n'a été abordé que matriciellement.
L'endomorphisme canoniquement associé à une matrice de passage est l'identité.
Soient $B$ et $B_E$ deux bases. Et $A'=Mat_{B_E} (f)$ et $A=Mat_{B} (D)$
On a $A'= P^{-1} A P$ avec $P=Mat_{B}^{B_E}$
On a donc $f= \psi ^{-1} D \psi$
Il me reste une question pourquoi $\psi$ est unique ?
Bon, ben, c'est une application immédiate de ce théorème.
Soient $u,v$ vérifiant $\forall i: u(e_i)=v(e_i)=Toto_i$.
Soit $w$ un vecteur et des $x_i$ tels que $w= \sum_i \ x_ie_i$. Alors
$$ u(w) = \sum_i\ x_i Toto_i = v(w)$$^
Tu ne veux toujours pas changer de méthodologie? Tu poses des questions GENERALES alors qu'un approfondissement naturel et de quelques secondes t'amènerait à poser les mêmes questions de fond, mais précisées.
Ici, ta "vraie" question** était "qu'est-ce qu'une base, précisément?"
Et tu ne l'as pas posée.
** comme beaucoup de gens, il se peut que ton cerveau ait enregistré que c'est un ensemble de vecteurs et non une famille (à tort), mais ta méthodologie t'empêche l'accès à ces progrès, car tu espères compenser l'imprécis et le vague à coups de répétition de 1000 exos brutaux par an. Tu régresses
$\psi : E \longrightarrow \K_{n-1}[X] \\ \ \ \ \ x \mapsto x$ où $B=(e_1, \cdots, e_n)$ est la base canonique de $\K_{n-1} [X]$ et $B_E =(f_1, \cdots, f_n)$ une base de $E$.
On a $\psi(f_1)=e_1$ etc $\psi(f_n)=e_n$
$\psi$ est l'application canoniquement associé à la matrice de passage $P_{B}^{B_E}$