Action d'un groupe sur une applic. linéaire

@noobey,

Pour $ i = 1,2 $, on a, $ \ \ V_{i}^G = \{ \ x \in V_i \ | \ \rho_i (g) (x) = x \ , \ \forall g \in G \ \} $
Donc, il n y a qu'un unique sous espace $ G $ - invariant, $ V_{i}^G $, pour chaque $ V_i $, avec $ i = 1 , 2 $.

Oui, sous espace des $ G $ - invariants. (:P)

Merci beaucoup Math Coss. :-)

En parcourant tes deux liens que tu m'as mis Math Coss, et en considérant, $ V_1 $ et $ V_2 $ décrits plus haut, de dimensions finies, tels que, $ \mathrm{dim}_K V_1 < \mathrm{dim}_K V_2 $, on a la suite exacte, suivante, $ 0 \to \mathrm{ker} f \to V_1 \to V_2 \to 0 $ ( Parce que, la sous catégorie des $ K $ - espaces vectoriels de dimensions finis est une catégorie abélienne ).

Est ce que, $ H^1 ( G , \ker \ f ) = 0 $ ? Autrement dit, est ce que la suite, $ 0 \to ( \ker f )^G\to V_{1}^G \to V_{2}^G \to 0 $ est exacte en $ V_{2}^G $ ?

Merci d'avance.

Oui, j'ai compris les deux réponses de Paul Broussous sur ces deux liens, néanmoins, tout se joue sur $ M $. L'exactitude en $ P^G $ dépend de la structure de $ M $. N'est ce pas ?
Revenons un moment à notre $ f \ : \ V_1 \to V_2 $ avec, $ \mathrm{dim}_{ \ K} V_1 < \mathrm{dim}_{ \ K} V_2 < + \infty $.
Si nous supposons que, $ f $ est bijective, est ce que, $ f^G \ : \ V_{1}^G \to V_{2}^G $ est surjective ? Je ne peux pas répondre à cette question malgré que j'ai lu les deux réponses de @P.B. sur ces deux liens, parce que je ne sais pas calculer $ H^1 ( G , \ker f ) = H^1 ( G , \{ 0 \} ) $.
Merci d'avance.

Pourquoi ? :-S