Bonjour à tous
J'aimerais que quelqu'un m'aide à résoudre cet exercice.
Montrer qu’il existe a0 et a1 dans K tel que pour tout b de K, on a
det B(c1 + bu, c2 + bu, ... , cn + bu) = a0 + a1b.
Avec c1, c2, ... , cn, u des vecteurs dans E où dim(E) = n.
Merci d'avance.
Réponses
Autre voie : développer tout bêtement en utilisant la multilinéarité du déterminant :
$$\det(c_1+bu,\ldots,c_n+bu) = \sum_{I\subset\{1,\ldots,n\}} b^{|I|}\det(v_{I,1},\ldots,v_{I,n})\;, $$
où $|I|$ est le cardinal de $I$, $v_{I,i}=u$ si $i\in I$ et $v_{I,i}=c_i$ sinon.
Le fait que le déterminant est alterné entraîne que $\det(v_{I,1},\ldots,v_{I,n})=0$ si $|I|\geq 2$. On a donc
$$\det(c_1+bu,\ldots,c_n+bu) = a_0+ba_1\;, $$
où $a_0=\det(c_1,\ldots,c_n)$ et $a_1=\det(u,c_2,\ldots,c_n)+\det(c_1,u,c_3,\ldots,c_n)+\cdots+\det(c_1,\ldots, c_{n-1},u)$.
En tout cas merci
J'ai été très gêné par ton B majuscule et la quantification non précisée à ton premier post. J'ai du me guider en lisant les autres posts de P et GBZM (mais comme P utilise un "B" majuscule, je n'ai pas eu de chance :-D
Apparemment, un énoncé dont les programmes qui te sont imposés doit rendre "officiellement" (et facilement?) équivalent au tien est :
Soit $n>1$ un entier, $E:=\R^n$, $c_1,\ldots,c_n$ et $u$ des éléments de $E$. On regarde la fonction $f:\R\to \R$ :
$$
f:x\mapsto \det(matrice(c+xu)),
$$ et on demande de prouver qu'elle est affine. Je devrais préciser ce que j'appelle $matrice(c+xu)$, mais je me demande si tu n'aurais pas envie de le deviner, donc je te laisse éventuellement le demander.
Sache que PERSONNE ne développe, et tout le monde a le même mal que toi à développer. Je vais te poser des questions pour situer ce à quoi tu as droit:
1/ As-tu vu les polynômes?
2/ As-tu vu les formes alternées (même un tout petit peu)?
3/ Comment t'a-t-on défini le déterminant?
4/ T'a-t-on parlé de volume?
Je ne répondrai pas tout de suis par contre, je ne suis pas très souvent connecté dans une journée.
Tu devrais relativiser un peu plus tes propos et écrire "je ne développe jamais" plutôt que "PERSONNE ne développe". Développer le produit $(c_1+bu)(c_2+bu)(c_3+bu)$ permet d'appréhender ce qui se passe.avec la multilinéarité du déterminant
Ce que je voulais surtout dire c'est que les habitués vont surtout "avoir une vision en relief (ou typée :-D) " les conduisant à ne pas avoir besoin du détail.
C'est ce que je m'apprêtais à lancer** si elle réagit à mes questions préalables.
** C'est un grand mot pour dire échanger quelques posts de mon pc sur ce thème.
La je réponds de mon téléphone.
$$\det (C+bu1_n^t)=\det C \det (I_n+bu(C^{-1}1_n)^t)=\det C (1+bu^t C^{-1}1_n)=(\det C)+b u^t(K1_n)$$ Par densite on a le resultat aussi quand $C$ n'est pas inversible.
Je te donne une liste des "formules brutes sans contexte" qui répondent à ta demande, et dis-moi lesquelles tu veux voir pluss détaillées.
L'argument formes linéaires alternées (de GBZM) :
tu vas développer $(c_1+xu)\wedge (c_2+xu) \wedge \dots (c_n+xu)$ comme tu développerais en 4e en imaginant que $\wedge = \times$. SAUF QU'EN PLUS bin tu en as de la chance, à chaque fois qu'apparait au mois deux fois $xu$, dans un des** produits du développement, ça donne $0$.
[size=x-small]$$ Produit1 + Produit2 + \dots + (\dots c_8\wedge (xu)\wedge \dots \wedge (xu)\wedge \dots \wedge c_{74912}\wedge \dots) + Produit_{132548365} + \dots $$[/size]
Le truc entre parenthèses vaut $0$.
L'argument de "si j'ajoute ou retire une colonne à d'autres, je ne change pas le déterminant". C'est du $L1$ je crois.
$$det(c_1+xu,c_2+xu,..,c_n+xu) = det(c_1+xu, (c_2-c_1), (c_3-c_1), ...) = tant + x\times tant $$
du fait que $(c_7+xu) - (c_1+xu) = c_7-c_1$
Le fait que la composée de deux matrices a comme déterminant le produit des déterminant des matrices de départ. Tu pars de la matrices dont les colonnes sont les $c_i$.
- Tu ajoutes une colonne à gauche avec $xu$. Tu ajoutes une ligne tout en haut avec un 1 à gauche et que des $0$ ailleurs. Ca te donne une matrice $A$
- Tu calcules son déterminant.
- Tu la multiplies par une matrice astucieuse $B$ de façon à obtenir, la matrice qui, une fois retirées ses premières ligne et colonne te donne ta matrice désirée dont les colonnes sont les $c_i+xu$
- Tu calcules le déterminant de $B$. Tu conclus.
Voilà, dis-moi ce que tu veux explorer plus et si on t'a parlé de volume. Sache que le déterminant est la plus grande découverte scientifique de tous les temps (en maths ingénieriques) et que selon ce que tu veux faire plus tard, il est déconseillé de passer à côté.
*** personnellement je ne sais pas s'il en existe.
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
C'est agréable, les calculs, moi, j'adore ça, pourquoi se priver de ce plaisir ?
Cordialement,
Rescassol