Valeurs absolues de $\overline{\mathbb Q}$
dans Algèbre
Bonjour
J’ai une question.
Est-ce que toutes les valeurs absolues de $\overline{\mathbb Q}$ archimédiennes sont équivalentes ?
Merci d’avance.
J’ai une question.
Est-ce que toutes les valeurs absolues de $\overline{\mathbb Q}$ archimédiennes sont équivalentes ?
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Réponses
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Les deux complétés sont $\mathbb R$.
Donc les prolongements aux complétés des deux valeurs absolues sont équivalents.
Et donc on a ce que j’ai écrit dans mon dernier message non ?
Merci d’avance
Et maintenant comment tu conclus ? Tu "restreins à $\mathbb Q(\sqrt d)$", sauf que ça veut dire quelque chose de différent sur $\mathbb R_{v_1}$ et sur $\mathbb R_{v_2}$. Plus précisément, on a le diagramme commutatif suivant:
$\xymatrix{\mathbb Q(\sqrt d) \ar[r]^\sigma \ar[d] & \mathbb Q(\sqrt d) \ar[d] \\
\mathbb R_{v_1} \ar[r] & \mathbb R_{v_2} }$
Et là on voit que les deux restriction sont effectivement égales :-D
PS: coucou l'équipe de modération, j'ai une petite question, savoir si quelque chose est techniquement faisable: en mode \xymatrix, "crochet u crochet" veut dire "flèche vers le haut", mais le forum le comprend comme "souligner"; et quand on met des espaces, e.g. [ u ], \xymatrix ne le comprend plus ("parse error") - il y a moyen de faire quelque chose à ce sujet ou c'est juste quelque chose avec laquelle il faut vivre ? (je ne serais pas étonné que ce soit impossible, et une réponse "impossible" ou "trop compliqué" me va parfaitement, c'est vraiment juste pour savoir) Merci d'avance ! :-)
Qui vérifie $|f(x)|_\infty=|x|_\sigma$
Il doit y avoir plusieurs isomorphismes de corps valué, mais comme ce sont des automorphismes de $\mathbb R$ ça doit être l’identité
Donc $f$ doit être l’identité ?
veut dire que $|x|_\infty=|\sigma(x)|_\infty$
Donc on aurait $|a+b\sqrt{d}|_\infty=|a-b\sqrt{d}_\infty|$ ?
Merci d’avance
Il faut quantifier tes assertions.
"Pour tout $x\in \mathbb R, |x|_\infty = |x|_\sigma$" : ok
"Donc pour tout $x\in \mathbb Q(\sqrt d)$, $|x|_\infty = |\sigma(x)|_\infty$ " : non !!
Allez on recommence, on écrit tout.
Soit $K$ un corps avec deux valuations $v_1,v_2$ (ici, $K= \mathbb Q(\sqrt d)$), et un isomorphisme entre les deux complétions $L_1,L_2$. Rien ne t'assure a priori que les deux inclusions $K\to L_1, K\to L_2$ sont compatibles avec l'isomorphisme $L_1\cong L_2$.
En l'occurrence, ce n'est pas le cas.
Ici, pour la valuation usuelle, $\mathbb Q(\sqrt d)\to \mathbb R$ est l'inclusion usuelle. Pour la valuation "bizarre", le morphisme $\mathbb Q(\sqrt d)\to \mathbb R$ est celui qui envoie $\sqrt d$ sur $-\sqrt d$, et pas l'inclusion usuelle. C'est la composition de $\sigma$ avec l'inclusion usuelle.
En particulier, il faut remplacer ton "donc" par un "donc pour tout $x\in \mathbb Q(\sqrt d)$, $|x|_\infty = |\sigma(x)|_\sigma$", ce qui est effectivement vrai, puisque $\sigma^2= id$
Une "astuce" consiste à écrire [rul] ou [lur] selon qu'on est sur le bord gauche ou droit du schéma.
S'il n'y a qu'une seule colonne ... je ne sais pas, peut-être ajouter une deuxième colonne vide ?
AD