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Valeurs absolues de $\overline{\mathbb Q}$

superpowersuperpower
dans Algèbre
Bonjour
J’ai une question.
Est-ce que toutes les valeurs absolues de $\overline{\mathbb Q}$ archimédiennes sont équivalentes ?
Merci d’avance.

Réponses

  • PoirotPoirot
    Il n'est déjà pas vrai que les valeurs absolues archimédiennes d'un corps quadratique sont équivalentes, comment veux-tu que ce soit vrai sur $\overline{\mathbb Q}$ ? :-S
  • superpowersuperpower
    Mais leur complétés suivant ces normes ne seront-il pas non isomorphes ?
    Merci d’avance
  • PoirotPoirot
    Le complété de $\overline{\mathbb Q}$ par rapport à une valeur absolue archimédienne est toujours $\mathbb C$.
  • superpowersuperpower
    Mais deux valeurs absolues non équivalentes donnent deux complétés non isomorphe non?
  • PoirotPoirot
    Ben non. La valeur absolue usuelle, et la valeur absolue $a+b\sqrt d \mapsto |a-b \sqrt d|$ ne sont pas équivalentes sur $\mathbb Q(\sqrt d)$ lorsque $d > 0$, mais les complétés sont tous les deux $\mathbb R$.
  • superpowersuperpower
    Mais sur $\mathbb R$ il n’y a qu’une valeur absolue, ta deuxième valeur absolue va donc être égale à celle usuelle?
    Merci d’avance
  • PoirotPoirot
    Tu es en train de dire que $|a+b\sqrt d| = |a-b\sqrt d|$ pour tous rationnels $a$ et $b$ ?
  • superpowersuperpower
    Donc il y plusieurs valeurs absolues sur $\mathbb R$ ?
    Merci d’avance
  • PoirotPoirot
    Non. EDIT : Oui. Sur $\mathbb Q(\sqrt d)$ oui.
  • superpowersuperpower
    Mais chaque valeur absolue sur un corps de nombre se prolonge en une valeur absolu sur ses complétés non?
  • PoirotPoirot
    Oui tu as raison je me suis avancé un peu vite.
  • superpowersuperpower
    Et donc?
    Merci d’avance
  • PoirotPoirot
    Et donc je maintiens tout ce que je t'ai dit, sauf quand j'ai dit qu'il y avait une seule valeur absolue sur $\mathbb R$. Quelle est ta question ?
  • superpowersuperpower
    Il y a plusieurs valeurs absolues sur $\mathbb R$?
    Merci d’avance
  • PoirotPoirot
    Oui.
  • PeaPea
    En tout cas, il n'existe qu'une seule valeur absolue, à équivalence près, pour laquelle $\mathbb{R}$ est complet. En effet, la restriction d'une telle valeur absolue, notons la $\lvert .\rvert$, à $\mathbb{Q}$ est équivalente soit à la valeur absolue archimédienne usuelle $\lvert .\rvert_{\infty}$ soit à une valeur absolue $p$-adique $\lvert .\rvert_p$ pour un nombre premier $p$. Dans le deuxième cas, on obtient par complétude un morphisme de corps $\mathbb{Q}_p\to \mathbb{R}$ ce qui est impossible (car $\mathbb{Q}_p$ contient des racines carrés de nombres rationnels négatifs). Dans le premier cas, on obtient aussi un homomorphisme de corps complets $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Or, il est bien connu qu'un tel homomorphisme est nécessairement égal à l'identité.
  • superpowersuperpower
    Donc $|a+b\sqrt{d}|=|a-b\sqrt{d}|^\alpha$ pour tout $a,b$ rationnels?
  • PeaPea
    Non ça n'implique pas cela.
  • superpowersuperpower
    On prend les deux valeurs absolues $|.|$ et $|\sigma(.)|$ sur $\mathbb Q(\sqrt{d})$, où $\sigma:a+b\sqrt{d}\mapsto a-b\sqrt{d}$.
    Les deux complétés sont $\mathbb R$.
    Donc les prolongements aux complétés des deux valeurs absolues sont équivalents.
    Et donc on a ce que j’ai écrit dans mon dernier message non ?
  • PoirotPoirot
    La nuance, c'est que le complété de $\mathbb Q(\sqrt d)$ pour la valeur absolue non usuelle est un corps isomorphe à $\mathbb R$, mais ce n'est pas le $\mathbb R$ obtenu par complétion pour la valeur absolue usuelle.
  • superpowersuperpower
    Mais qu’est ce qui est faux dans mon dernier message?
    Merci d’avance
  • MaxtimaxMaxtimax
    $\mathbb Q(\sqrt d)$ a plusieurs plongements dans $\mathbb R$. Donc la "restriction de la valeur absolue usuelle sur $\mathbb R$", ça va dépendre de ce plongement.
  • MaxtimaxMaxtimax
    C'est plus clair si on écrit ton argument en détails : j'ai $v_1,v_2$ deux valeurs absolues sur $\mathbb Q(\sqrt d)$. Chacune me donne un corps, $\mathbb R_{v_i}$. Ces deux corps sont isomorphes en tant que corps valués, donc j'ai un isomorphisme $\mathbb R_{v_1}\to \mathbb R_{v_2}$.

    Et maintenant comment tu conclus ? Tu "restreins à $\mathbb Q(\sqrt d)$", sauf que ça veut dire quelque chose de différent sur $\mathbb R_{v_1}$ et sur $\mathbb R_{v_2}$. Plus précisément, on a le diagramme commutatif suivant:

    $\xymatrix{\mathbb Q(\sqrt d) \ar[r]^\sigma \ar[d] & \mathbb Q(\sqrt d) \ar[d] \\
    \mathbb R_{v_1} \ar[r] & \mathbb R_{v_2} }$

    Et là on voit que les deux restriction sont effectivement égales :-D

    PS: coucou l'équipe de modération, j'ai une petite question, savoir si quelque chose est techniquement faisable: en mode \xymatrix, "crochet u crochet" veut dire "flèche vers le haut", mais le forum le comprend comme "souligner"; et quand on met des espaces, e.g. [ u ], \xymatrix ne le comprend plus ("parse error") - il y a moyen de faire quelque chose à ce sujet ou c'est juste quelque chose avec laquelle il faut vivre ? (je ne serais pas étonné que ce soit impossible, et une réponse "impossible" ou "trop compliqué" me va parfaitement, c'est vraiment juste pour savoir) Merci d'avance ! :-)
  • superpowersuperpower
    L’ isomorphisme doit être $f:(\mathbb R,|.|_\sigma)\to (\mathbb R,|.|_\infty)$
    Qui vérifie $|f(x)|_\infty=|x|_\sigma$
    Il doit y avoir plusieurs isomorphismes de corps valué, mais comme ce sont des automorphismes de $\mathbb R$ ça doit être l’identité
    Donc $f$ doit être l’identité ?
  • MaxtimaxMaxtimax
    Tout morphisme $\mathbb R\to \mathbb R$ est l'identité, donc oui. Mais a priori (bon dans ce cas, oui) il n'est pas nécessaire que $|f(x)| = |x|$. Mais le plongement de $\mathbb Q(\sqrt d)$ dans sa complétion (ici $\mathbb R$) dépend de la valeur absolue choisie.
  • superpowersuperpower
    Mais $|x|_\infty=|x|_\sigma$ (car $f$ est l’identité)
    veut dire que $|x|_\infty=|\sigma(x)|_\infty$
    Donc on aurait $|a+b\sqrt{d}|_\infty=|a-b\sqrt{d}_\infty|$ ?
    Merci d’avance
  • MaxtimaxMaxtimax
    Non ça ne veut pas dire ça : le plongement de $\mathbb Q(\sqrt d)$ dans sa complétion est un plongement de $\mathbb Q(\sqrt d)$ dans $\mathbb R$ qui n'a pas à être l'inclusion usuelle.

    Il faut quantifier tes assertions.

    "Pour tout $x\in \mathbb R, |x|_\infty = |x|_\sigma$" : ok

    "Donc pour tout $x\in \mathbb Q(\sqrt d)$, $|x|_\infty = |\sigma(x)|_\infty$ " : non !!

    Allez on recommence, on écrit tout.

    Soit $K$ un corps avec deux valuations $v_1,v_2$ (ici, $K= \mathbb Q(\sqrt d)$), et un isomorphisme entre les deux complétions $L_1,L_2$. Rien ne t'assure a priori que les deux inclusions $K\to L_1, K\to L_2$ sont compatibles avec l'isomorphisme $L_1\cong L_2$.

    En l'occurrence, ce n'est pas le cas.

    Ici, pour la valuation usuelle, $\mathbb Q(\sqrt d)\to \mathbb R$ est l'inclusion usuelle. Pour la valuation "bizarre", le morphisme $\mathbb Q(\sqrt d)\to \mathbb R$ est celui qui envoie $\sqrt d$ sur $-\sqrt d$, et pas l'inclusion usuelle. C'est la composition de $\sigma$ avec l'inclusion usuelle.

    En particulier, il faut remplacer ton "donc" par un "donc pour tout $x\in \mathbb Q(\sqrt d)$, $|x|_\infty = |\sigma(x)|_\sigma$", ce qui est effectivement vrai, puisque $\sigma^2= id$
  • ADAD
    Maxtimax, concernant ton PS http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2212346,2213546#msg-2213546 sur les diagrammes \xymatrix{ }.
    Une "astuce" consiste à écrire [rul] ou [lur] selon qu'on est sur le bord gauche ou droit du schéma.
    S'il n'y a qu'une seule colonne ... je ne sais pas, peut-être ajouter une deuxième colonne vide ?
    AD
  • MaxtimaxMaxtimax
    AD : merci pour l'astuce ! S'il n'y a qu'une seule colonne je peux la mettre en horizontal sans souci
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