Point fixe dans $\Z[G]$-module

marco · April 2021

Bonjour,

Soit $G$ un groupe fini, $M$ un $\Z[G]$-module de type fini et sans torsion en tant que groupe abélien, tel que, pour tout $x \in M$, si $x \neq 0$, alors il existe $g \in G$, tel que $g \cdot x \neq x$. Est-ce qu'alors $M$ est nécessairement libre en tant que $\Z[G]$-module ?

Merci d'avance.

Math Coss · April 2021

Si on prend $\newcommand{\i}{\mathrm{i}}G=\Z/4\Z$, ou plutôt $G=\{\pm1,\pm\i\}$ avec $\i^2=-1$, et $M=\Z[\i]$ sur lequel $G$ agit naturellement par produit. On peut prendre $g=\i$ pour tout $x$, vu que $z\mapsto\i z$ n'a pas de vecteur propre, mais $M$ n'est pas libre puisque $\Z[G]$ est un $\Z$-module de rang $4$ alors que $M$ est de rang $2$.

i.zitoussi · April 2021

Un $\Z[G]$-module libre contient un sous-module trivial (car le module régulier le contient).
Donc si $M$ ne contient pas de sous-module trivial (c'est une de tes hypothèses), il ne peut pas être libre.

marco · April 2021

Merci Math Coss et i.zitoussi.

Point fixe dans $\Z[G]$-module

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