Automorphismes et sous-corps premier
dans Algèbre
Bonjour,
Proposition Soit $(K,+,\times)$ un corps, $(P,+,\times)$ son sous-corps premier et $\sigma$ un automorphisme de $(K,+,\times)$.
$$\sigma_{|P}=\mathrm{Id}_P.
$$ Démo " On montre que $\sigma(P)=P$. On a $\sigma(1)=1$, d'où par récurrence $\sigma(n)=n$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$. Comme $P$ est le corps des fractions de $\mathbb{Z}.1$, $\sigma_{|P}=\mathrm{Id}_P$."
Il est noté $\mathbb{Z}.1$ l'image du morphisme suivant $
\begin{array}[t]{@{}lrcl}
& \iota : \mathbb{Z} & \longrightarrow & K \\
& k & \longmapsto & k\,1 \end{array}
$Je ne comprends pas à quel moment on utilise que $\sigma(P)=P$ et je ne comprends pas pourquoi le corps $P$ est celui des fractions de $\mathbb{Z}.1$ (je pensais que c'était vrai seulement si $K$ était de caractéristique nulle).
Merci d'avance
Proposition Soit $(K,+,\times)$ un corps, $(P,+,\times)$ son sous-corps premier et $\sigma$ un automorphisme de $(K,+,\times)$.
$$\sigma_{|P}=\mathrm{Id}_P.
$$ Démo " On montre que $\sigma(P)=P$. On a $\sigma(1)=1$, d'où par récurrence $\sigma(n)=n$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$. Comme $P$ est le corps des fractions de $\mathbb{Z}.1$, $\sigma_{|P}=\mathrm{Id}_P$."
Il est noté $\mathbb{Z}.1$ l'image du morphisme suivant $
\begin{array}[t]{@{}lrcl}
& \iota : \mathbb{Z} & \longrightarrow & K \\
& k & \longmapsto & k\,1 \end{array}
$Je ne comprends pas à quel moment on utilise que $\sigma(P)=P$ et je ne comprends pas pourquoi le corps $P$ est celui des fractions de $\mathbb{Z}.1$ (je pensais que c'était vrai seulement si $K$ était de caractéristique nulle).
Merci d'avance
Réponses
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L’assertion $\sigma(P)=P$ ne sert à rien dans la démonstration.
Attention, il n’y a pas écrit que $P$ est le corps des fractions de $\Z$, mais de $1_K\cdot\Z$. Si $K$ est de caractéristique nulle, alors $1_K\cdot\Z$ est isomorphe à $\Z$. Si $K$ est de caractéristique $p>0$, alors $1_K\cdot\Z$ est isomorphe à $\Z/p\Z$. -
Ok pour $\sigma(P)=P$.
Oui j'ai vu qu'il s'agissait des fractions $1_K\cdot \mathbb{Z}$ et je connais ces deux isomorphismes mais je ne vois pas pourquoi cela implique que $P$ est le corps des fractions de $1_K\cdot \mathbb{Z}$. -
C'est quasiment une définition du sous-corps premier.
Si $K$ est de caractéristique $p > 0$ alors $1_K \mathbb Z \simeq \mathbb Z/p\mathbb Z$ est un corps, et c'est clairement le sous-corps premier de $K$ puisqu'il ne contient pas de sous-corps strict. Si $K$ est de caractéristique nulle alors $1_K \mathbb Z \simeq \mathbb Z$, dont le corps des fractions est isomorphe à $\mathbb Q$, et à nouveau c'est clairement le sous-corps premier de $K$ puisqu'il ne contient pas de sous-corps strict. -
Une autre façon de procéder plus calculatoire pour conclure est la suivante : si la caractéristique est non nulle, la démonstration est déjà terminée. Sinon, on a pour tout $(p,q)\in\Z\times\N^\ast$ l’égalité :
\[ q \cdot\sigma((p/q)\cdot 1_K) = \sigma(p\cdot 1_K) = p\cdot 1_K,\]
ce qui implique le résultat en divisant par $q$. -
Poirot : Merci pour votre réponse.
Edit : J'ai compris vos deux phrases mais je sens que je ne comprends pas tout. Le sous-corps premier est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-corps $i.e.$ le sous-corps engendré par $1_K$. Son ensemble sous-jacent n'est pas toujours $\langle 1_K\rangle = \{k \cdot 1_K\ |\ k \in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z} \cdot 1_K$ ?
MrJ : Merci pour votre réponse mais je ne comprends pas $(p/q)\cdot 1_K$. Je n'ai défini l'itéré de $1_K$ que pour tout entier relatif.
$$\forall k \in \mathbb{Z} \quad k\cdot 1_K:=\underbrace{1_K + \dots{} +1_K}_{k \text{ fois}}$$ -
$\mathbb Z$ n'étant pas un corps, le sous-corps premier d'un corps de caractéristique nulle n'est pas (isomorphe à) $\mathbb Z$ mais (isomorphe à) son corps des fractions $\mathbb Q$.
En ce qui concerne la notation $\frac{p}{q} 1_K$, il faut se rappeler que tu travailles dans un corps, donc dès que $q \neq 0$, ça a bien un sens. -
Il faut donc distinguer les cas où $car(K)=0$ et $car(K) \neq 0$ dans la démonstration non ?
- Si $car(K)=0$ :
-- $\mathbb{Z}1_K$ est isomorphe à $\mathbb{Z}$
-- le sous-corps premier de $(K,+,\times)$ est le corps des fractions de $\mathbb{Z}1_K$ et est isomorphe à $\mathbb{Q}$.
- Sinon, $car(K)=p$, le sous-corps premier de $(K,+,\times)$ est $\mathbb{Z}1_K$ et est isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
On ne peut pas, comme c'est écrit dans la démo dire que le sous-corps premier de $K$ est le corps des fractions de $\mathbb{Z}1_K$ si ? ce n'est vrai que si $car(K)=0$ non ?
Dans un corps tout élément non nul, comme $1_K$, est inversible. Est-ce que la définition est
$$\forall x\in K \quad (p/q)x:=px+qx^{-1}\ ?$$ -
Si $\mathbb Z 1_K$ est un corps (ce qui est le cas si et seulement si $K$ est de caractéristique $p > 0$), alors il est aussi égal à son corps des fractions. Il n'y a rien à distinguer à ce niveau-là.
-
Ok merci Poirot c'est ça que ne savais pas. Pour conclure que $\sigma_{|P}=\mathrm{Id}_P$ il reste à montrer que, pour tout $p,q \in \mathbb{Z}1_K$, $\sigma(p/q)=p/q$ non (ce que m'a expliqué MrJ) ?
-
Oui et c’est une conséquence de la formule écrit dans mon message précédent (il suffit de multiplier par $1/q$ à gauche).
-
Merci MrJ. Est-ce que vous pouvez me confirmer que, dans un groupe $(K,+)$, pour tout $x\in K$ (admettant nécessairement un opposé $-x$) et tout $(p,q)\in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}$,
$$(p/q)\cdot x := p\cdot x + q\cdot (-x)=(\underbrace{x+\dots{}+x}_{p \text{ fois}}) + (\underbrace{-x-\dots{}-x}_{q \text{ fois}}) ?$$ -
Je ne sais pas trop ce que tu essayes de définir mais tu es sur de vouloir (1/1) . x = x - x ?
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Ce que tu as en revanche c'est (-n).x = n.(-x) pour tout entier naturel n.
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Vous avez raison ç ne peut pas être ça. Oui je connais cette relation mais MrJ et Poirot semblent me dire que l'on peut écrire $q.x$ pour $q\in \mathbb{Q}$ (et non pas pour $q\in \mathbb{Z}$) mais je ne connais pas la signification.
-
Dans un corps $(K,+,*)$ tu peux définir $p/q = (p.1) * (q.1)^{-1}$ .
La multiplication de $p/q$ par $x$ est alors le produit défini par ta structure de corps.
Il faut faire attention a ce que la caractéristique de $K$ ne divise pas $q$. -
Je te l'ai déjà dit, si $\frac{p}{q} \in \mathbb Q$ avec $q 1_K \neq 0$, alors $\frac{p}{q} 1_K$ est l'élément (du sous-corps premier) de $K$ donné par $p1_K \times (q 1_K)^{-1}$.
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