Anneaux

Pour 2)a) il s'agit de trouver les inclusions qu'il y a entre $Z, C$ et $S$, puis que ces inclusions sont strictes.
Pour 2)b) il faut se poser la question de si le produit de deux suites non nulles dans un de ces ensembles peut être nul, et quel peut-être un élément unité.

L'indication de la 3) est complètement fausse, évidemment que l'idéal engendré par $Z \cup \{u \in C \mid u \not \in Z\}$ est égal à $C$, puisque cet ensemble est déjà égal à $C$ ! Il s'agit de montrer que $Z \neq C$ et que si $u \in C \setminus Z$ alors l'idéal engendré par $Z \cup \{u\}$ est égal à $C$, et pour ça il suffit de montrer que $1$ appartient à cet idéal.

Attention pour la 1), il faudrait aussi vérifier que $Z$ est un anneau pour les lois données pour être parfaitement rigoureux. Mais oui on a bien $Z \subset C \subset S$. Tu n'as pas montré que ces inclusions sont strictes.

Pour l'intégrité, raisonne par analyse-synthèse : soit $(u_n)_n, (v_n)_n \in S$ telles que $(u_nv_n)_n$ soit la suite nulle. Qu'est-ce que tu peux en déduire sur chaque couple $(u_n, v_n)$ ? Il n'y a plus qu'à vérifier que la condition obtenue est évidemment suffisante, et d'en déduire plein d'exemples de suites non nulles dont le produit est nul.