Système linéaire, entiers et congruence

Bonjour
On pose l'équation $$AX=B \mod P,

$$ $A$ est une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes à coefficient dans $\mathbb{Z}$,
$X$ vecteur inconnu à $n$ lignes à coefficient dans $\mathbb{Z}$,
$B \mod P$ vecteur à $n$ lignes dont les composantes sont $b_i \mod p_i$ (je pense que cette notation est abusive, est-ce que je me trompe ?).
Les $p_i$ ne sont pas nécessairement premiers.
Quelles conditions faut-il pour que ce système admette au moins une solution ?

Réponse partielle, si $\det(A)$ et $p_i$ sont premiers entre eux pour tout $i$. OK
Mais j'aimerais connaître des critères dans les autres cas.
J'aimerais connaître une méthode pour trouver toutes les solutions ?
Je sais résoudre $AX=B$ en utilisant la forme normale de Smith mais je n'ai pas d'idée avec "$\mod P$", j'ai tenté de rajouter à $B$ un vecteur $K$ dont les composantes sont $k_ip_i$ puis tenter la forme de Smith sur des exemples, je doute que la démarche soit bonne.
J'imagine que selon $d_i$ il doit [y] avoir des méthodes.
Je vous remercie d'avance.