Transvections
Bonjour,
une transvection est un endomorphisme $t$ de $E$, un $\mathbb{C}$ espace vectoriel de dim finie qui a les propriétés suivantes :
- $t\ne id $
- Il existe un hyperplan $H$ de $E,\ \forall x\in H,\ t(x)=x$
- $\forall x\in E,\ t(x)-x\in H$.
- Comment montrer à partir de cette définition pouvons-nous montrer que les transvections sont des automorphismes de $E$ ?
- Je souhaite montrer l'unicité de la droite et de l'hyperplan associés à une transvection $t$.
On montre d'abord que $H=\ker(t-id)$, mais pour moi la propriété du troisième tiret assure les 2 inclusions non ?
Puis, on montre qu'il existe une unique droite vectorielle $d$ telle que $\forall x\in E,\ t(x)-x\in d$. D'après ce que l'on vient de faire, on utilise le théorème du rang et $Im(t-id)$ est une droite vectorielle qui est, de plus, incluse dans $H$ d'où l'existence. Je n'ai pas d'idée pour l'unicité..
Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce :-)
Bonne soirée.
une transvection est un endomorphisme $t$ de $E$, un $\mathbb{C}$ espace vectoriel de dim finie qui a les propriétés suivantes :
- $t\ne id $
- Il existe un hyperplan $H$ de $E,\ \forall x\in H,\ t(x)=x$
- $\forall x\in E,\ t(x)-x\in H$.
- Comment montrer à partir de cette définition pouvons-nous montrer que les transvections sont des automorphismes de $E$ ?
- Je souhaite montrer l'unicité de la droite et de l'hyperplan associés à une transvection $t$.
On montre d'abord que $H=\ker(t-id)$, mais pour moi la propriété du troisième tiret assure les 2 inclusions non ?
Puis, on montre qu'il existe une unique droite vectorielle $d$ telle que $\forall x\in E,\ t(x)-x\in d$. D'après ce que l'on vient de faire, on utilise le théorème du rang et $Im(t-id)$ est une droite vectorielle qui est, de plus, incluse dans $H$ d'où l'existence. Je n'ai pas d'idée pour l'unicité..
Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce :-)
Bonne soirée.
Réponses
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Bonsoir,
Tu ne recopies pas correctement la définition : tu n'y dis pas que $H$ est un hyperplan, point essentiel, et tu écris $H\in E$, ce qui est une horreur.
Pour montrer qu'une transvection est un automorphisme (à partir de la définition corrigée), tu peux t'intéresser à son image.
Enfin, de quelle droite veux-tu montrer l'unicité ? PS. j'ai vu de quelle droite tu parles en lisant la fin de ton message. Mezalor, pourrait-il y avoir à ton avis plusieurs droites égales à l'image de $t-\mathrm{Id}_E$ ? -
Ok, j'ai corrigé la définition.
-Les questions suivantes du problème ont pour objectif de montrer que $\forall x\in E, t(x)=x+u(x) a $ avec $u$ une forme linéaire non nulle sur $E$ et $a$ un vecteur non nul de l'hyperplan $H$ donc si vous entendiez cela par image de t, je ne pense pas que ce soit la réponse attendue ..Mais sinon je ne vois pas comment raisonner sur l'image de t.
-Le fait qu'une transvection soit une bijection doit sûrement aider mais là je ne vois pas trop..
Merci de votre aide -
Il te suffit de réaliser que l'image de $t$ contient strictement $H$ pour voir que $t$ est un automorphisme.
Je ne comprends toujours pas ton problème avec l'unicité de la droite image de $t-\mathrm{Id}$. -
$\newcommand{\Im}{\mathrm{im}}$$Je suis désolé mais en quoi le fait que l'image de $t$ soit incluse dans $H$ nous permet de conclure ?
Pour la droite vectorielle :
le théorème du rang nous dit que $\Im(t-id)$ est une droite vectorielle et $\Im(t-id)\subset \ker(t-id)=H$ donc il existe une droite vectorielle $d$ incluse dans $H$ telle que $\forall x \in E,\ t(x)-x\in d$.
Je souhaite maintenant montrer l'unicité de cette droite (je pense avoir trouvé).
Je pense qu'il y a plusieurs manières de faire mais voilà ce que j'ai fait.
Soit $b\in \Im(t-id)$. Alors, il existe $a$ appartenant à $E$, $t(a)-a=b$. $a$ n'est donc pas dans $H$ donc le cours dit que $Vect(a)$ et $H$ sont supplémentaires dans $E$. J'utilise la caractérisation de 2 sev supplémentaires : soit $x\in E,\ y\in Vect(a),\ z\in H$ tels que $x=y+z$. J'applique $t-id$ : $t(x)-x=t(z)-z$.
Je galère un petit peu sur cet exercice, je ne sais pas si ce que j'ai fait est correct ou s'il existe une méthode plus simple..
Merci de votre réponse -
Pour montrer que les transvections engendrent $GL(E)$ existe il un argument pour le ramener à $GL_{n}(K)$ au moins on peut utiliser la preuve du pivot de Gauss ?
Bien à vous. -
Comme les groupe $GL(E)$ et $GL_{n}(K)$ sont isomorphe, ça doit être le cas. Il suffit de définir une transvection et une dilatation dans $GL(E)$ montrer que c'est équivalent à l'existence d'une base telle que le endo dans cette base ont une certaine forme.
Puis on part des matrices qu'on envoit dans $GL(E)$ par isomorphisme et c'est ok.
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