Exponentielle de matrice

stephane_idf · April 2021

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi
pour toute matrice A de Mn(K), exp(A) appartient à K[A].

stephane_idf · April 2021

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi
pour toute matrice A de Mn(K) , exp(A) appartient à K[A]

CédricC · April 2021

Quelle est la définition que tu as de exp(A) ?

Calli · April 2021

Bonjour,
Premier argument. Par sa définition par la série $\sum \frac{A^n}{n!}$, $\exp(A)$ est la limite d'une suite d'éléments de $K[A]$.
Deuxième argument. À ton tour.

marsup · April 2021

C'est à cause des polynômes annulateurs.

À moins que ce ne soit parce que $K[A]$ est de dimension finie, donc fermé, donc la limite des sommes partielles y appartient aussi ?

stephane_idf · April 2021

sev de Mn(C) donc fermé
pour moi ce n'est pas clair je confonds avec la nilpotence

Dom · April 2021

Maintenant voyons pourquoi c’est à la fois hallucinant (non ?) mais aussi décevant quand on l’applique à $\mathbb R$.

Disons-le comme un magicien qui veut impressionner l’auditoire : « L’exponentielle d’un réel est un polynôme ».

Rescassol · April 2021

Bonjour

As-tu entendu parler de polynôme annulateur, ou minimal, ou Cayley-Hamilton ?

Cordialement,
Rescassol

Amédé · April 2021

Bonjour,

voir la question 1 de la partie I maths générales de l'agreg externe 2017, puis l'argument de marsup.

stephane_idf · April 2021

Merci j'ai vu mon erreur
car le fait d'être dans K[A] je me disais qu'il y avait nilpotence ce qui n'est pas le cas
effectivement la suite des sommes partielles étant convergente et comme C[A] est fermé en tant que sev de Mn(C)
sa limite est aussi dans C[A]

Merci beaucoup

stephane_idf · April 2021

apres il y a aussi le fait que C est complet
une somme infinie de matrices ne saurait être autre chose qu'une matrice
C étant complet ses coefficients restent complexes , l'idée est-elle juste ?

Exponentielle de matrice

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